Memorisi, TXI. 



Sulla convergenza uniforme delle successioni di funzioni analitiche 



Nota di CARLO SEVERINl 



I Si.^'.i;. Cnratlìéudory e Landau hanno in collaborazione pubblicato nuove ri- 



cerche intoi'no alla convergenza delle successioni di funzioni analitiche , completando e 

 generalizzando ricerche precedenti, di cui, tra altri, anch' io mi ero occupato. 



La lettura dell'interessante Nota mi ha suggeiito alcune considei'azioni , che breve- 

 mente mi propongo di esporre. 



1. Conviene che liportiaino i nuovi l'isultali (jttenuli dai Sigg. Caratliéodory e Laiidan . 

 Anzitutto abbiamo il seguente : 



Teorema I: Le fiiìisioiii analiliche 



(1) /. (-r) ■ 1,2, ...,00) 



siano per | x | <^ 1 regolari : non assumano inai due valori complessi distinti 

 a <? b ed in infiniti punti , aventi almeno un punto limite interno al cerchio 

 (0, 1) {'^***), tendano, al crescere di n, ad un limite determinato e finito. Esiste allora 

 per ogni I x | < 1 // 



li>n fn (.V) =/(.v), 



ìl=: oo 



ed f (x) è per | x | < 1 una fiurzione analitica, regolare. Di pili le (1) tendono nni- 

 formeiiieiite ad f (x) nei punti di (o, d) , ove è una quantità fìssa qualsivoglia , 

 che soddisfa alla coiidisione o <C 6 <^ l 



(*) Comunicata all'Accademia nell' adunanza de! 9 Marzo 1912. 



(**■) Beili àge zur Koiivergenz voii Fiiiiklioiit'iiftilgi'ii ; Sitzuiif^sbei'ichte der Koniglich Preussichen Aka- 

 demie der Wissenschaften Bd. XXVI (1911). Nel seguito questa nota verrà brevemente indicata scrivendo C. L. 

 C. L. § 4- 



(****") Adotteremo in generale la notazione (,1-,), ; ) per indicare il cerchio di centro .r,) e raggio r. 

 (*'***■*) Fino dal 1903 il l'ilali (dr. la Nota: .Softia le serie di funzioni analiliche negli Annali di mate- 

 matica pura ed applicata, cap. IV, § 3) aveva dato il teorema che « se 



1 . lu , ;//, 



è una suriessione di fiimioiii analilii he fiuile e iiiiiiind rome . roni'ergenle in ugni fiiiilo di un campo sein- 

 pliceinenle connesso C, e se inolire le funzioni siiddelle non assumono mai i valori ed i, hi successione 

 converge l'crso una funzione analilii a fiiiila e mnnoilroma in C ». Più tardi il Sig. MONTHL [.Sur Ics foinls 

 irrégiiliers des si'rii'S coircergenle-, ile foncliiin\ a iia I \iii/u e\ ; Comptes rendus hebdomadaires des séances de 

 l'Acadómie des Sciences. Paris. T. CX.X-XXV (1907) pii. 9ii-g[2 - f.e;ons sur Ics scries il,' pidynomes a une 



ATTI ACC. SHRIH V, Vor. V, Meni. VII. I 



