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Carlo Seve I /HI 



[Memoria VII.] 



Consideiaiido invece di due quaiìtilà Hsse a e b due quanlilà a„ e b„ dipendenti dal- 

 l' indice ;/ (*) si ha inolti'e il 



Teorema II. (**) Le fuiisioiii analilicìie 

 (2) /. (-V) («=l,L>,...,x) 



siano per | x | ^ 1 regolari ; ìioìì assimunio mai due valori complessi a,), b,, , sog- 

 gelti alle coudisioiii 



\ (lA <"\ - I hn I < •( , ! (1,—bn ! > ~ , 



T 



ove 7 è ima costante positiva, finita , non nulla, ed in infuiili punti, aventi almeno 

 un punto limite interno al cerchio (o, 1), tendano, al crescere di n, ad un limite de- 

 terminato e finito. Esiste allora per ogni | x | < 1 // / 



lim ,/„ {x) = f{x) , 



11= co 



ed f (x) è per | x | < 1 regolare. Di più la (1!) tende in egual grado ad f (x) nei 

 punti di (o, 6), ove d è una quantità fissa, qualsivoglia , che soddisfa alla condi- 

 zione o < < 1 . 



2. — Risultati più generali , nei c[uali non si esclude che le funzioni /"„ (.r) possano 

 anche assumeie i due valori ad esse associati , dipendenti o no da ii , seguono dalle ri- 

 cerche che gli Autoi'i espongono nei successivi delia loro Nota. A tali ricerche accen- 

 nerò nel seguente ^; qui riporto intanto i seguenti risultati, a cui io sono in quest'ordine 

 d' idee pervenuto (***). 



z'ai iable coiiipU'xe: Paris, Gauthier-Villars (1910), pp. 124-125] ed io \^Siillf sì/rccssìd/ii iiifmite di funzioni 

 analiticlw; Atti del IV Congresso internazionale dei Matematici, Voi. li, Sez. I, p. 188] arrivammo allo stesso 

 risultato , aggiungendo in più la convergenza uniforme della successione in ogni area interna all' area data. 



Riguardo alla dimostrazione del Vitali i Sigg. Cai allicudot y e Landau osservano (C. L. § 4) che essa 

 presenta una lacuna , soggiungendo che non vedono la possibilità di colmarla senza 1' ipotesi che esista al- 

 meno un punto r,, in cui il lim ii,,. (.l'o) sia diverso da o e da i. Riguardo alle dimostrazioni date dal Monlel 

 n^'xi 



e da me, in cui si fa uso del teorema di Osgood , secondo il quale dalla convergenza in un' area della suc- 

 cessione di funzioni segue che esiste un'area parziale ove la convergenza è uniforme, essi obbiettano che nel- 

 r area parziale in discorso può il limite della successione essere costantemente eguale a o, ovvero ad i , e 

 non esistere quindi, come viene da noi asserito, un punto .r, ove è diverso da ciascuno di questi due valori. 

 Ora io desidero qui osservare che la nostra asserzione equivale ad ammettere che vi sia almeno un punto x^, 

 interno all'area data, in cui detto limite è diverso da o e da i : ciò si rileva dallo stesso nostro ragionamento, 

 che in tal caso è pienamente applicabile. La dimostrazione potrebbe venire completata, pel caso che non esista 

 un punto .1,1 cosi fatto, mediante un artifizio dovuto al Sig. Bernays (C. L. p. 597) , il quale condurrebbe a 

 ragionare sopra funzioni che non assumono mai valori interi, e non lasciano perciò adito all'obbiezione dianzi 

 detta ; ma oramai non è più il caso, av endosi il teorema 1, di dilungarsi su questo punto, 



(*) Cfr. mali, 1. c. cap. IV, § 6 — .SV?v;-/«/, I. c. 6. 



(**) C. L. § 5. 



(***) L. c. §§ 8, 9. 



