Sulla convergenza uniforme delle successioni di funsioni analitiche 



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Teorema III. Si associno ad un punto Xg del piano della variabile complessa 

 X le quantità : 



(3) fn (.Vo) 



scelte in modo da avere : 



v = 0, 1,....,^-: 



''™ " ■ ^ /,.'■" (.V.) I <; -L („ = i,2,...,o,), 



ove y indica una costante positiva, non nulla ; e s indichi con K un'area qualsi- 

 voglia connessa, contenente il punto Xo, entro la quale ciascuna delle serie: 



OC' 



Pa (.r, .rj ^ TI (-^o) a-o)' (// = 1, 2,..., ) 







possa essere continuata analiticamente, e dia luogo ad un ramo di funzione ana- 

 litica, uniforme f„ K (x). 



Affinchè in ogni area K' interna a K la successione : 



(4) fnK{x) («= l,2,..,'ao) 



converga in egual grado ad ima fuiì.sione aiuilitica regolare, è necessario e suf- 

 ficiente : 



a) che per ogni v fisso, le quantità (3) tendano, al crescei-e di //, ad un limite 

 determinato e tìnito ; 



b) che, almeno a partire da un certo valore dell' indice n /// poi, gl'insiemi 

 Ga, Gi, dei punti interni a K, ove qualcuna delle (4) assume rispettivamente due 

 valori complessi a, b distinti fra loro e diversi da lim f,,*"' (Xo) siano riducibili e 



non abbiano come punto limite il punto Xg . 



Teorema IV : Nelle ipotesi del precedente teorema , affinchè in ogni area K' 

 interna a K la successione (4) converga in egual grado ad una funsione analitica 

 regolare, è necessario e sufficiente : 



a) che per ogni fisso le quantità (3) tendano, al crescere di n, ad un li- 

 mite determinato e finito ; 



b) che, almeno a partire da nn certo valore dell' indice n /// poi, gT insiemi 

 H,, , H|, dei punti interni a K, ove le (4) rispettivamente assumono due valori com- 

 plessi a,, , li„, tendenti, al crescere din, a limiti determinati e finiti a e b, fra loro 

 distinti e diversi da lim f"" (xg), siano riducibili e non abbiano come punto limite 



11= 00 



// punto x„ . 



