Sulla convergeìiBii iiìiiforiiie delle siiccessioìii di Jiiìizioìii niialitiche 



e di più nella pai'te di (o, r) esterna ai cei'chi (.r, , p,) la (6) converge uniionnemente nel 

 senso oi'dinario a 3' (.v), mentre nei cerchi (.\",, p,) converge uniformemente nel senso oi- 



dinai'io ad -7 la successione : 



^ <"='.-■•••-'<■'■ 



Ciò posto si ha il seguente 



Teorema V (**). Sia/io le finizioni aiiti/i/itiie : 



(7) /„ (.V) (v=r l,2,....,co) 



per I X I < 1 lueroviorfe. Esistano tre differenti costanti coiiiplesse a, b, c {***) e 

 tre numeri interi positivi k, 1, m (*»**)^ tali che sia : 



e che per o <^ | x [ < 1 /' ordine (*****) di ogni sero di f,, (x) — a [rispeltivaniente 



di — ^— - se a = 00 ) sia divisibile (******) per k ; ed il medesimo si verifichi se a 



e k rispettivamente con b ed 1, ovvero con c ed m, vengono riiìipiaBzati . Inoltre 

 in iìifìniti punti , aventi almeno un punto limite interno al cerchio (o,l), esista il 



lim /„ (.v) , 



e questo limite sia, almeno in un punto, fruito. 

 Esiste allora per ogni | x ■ <^ 1 // 



lim /. (.V) = / (.V) 



ed f (x) è per | x | < 1 una funzione meromorfa. Di più la (7) converge unifor- 

 menienle ad t" (x) nei punti di (0,6), ove è una quantità fìssa, qualsivoglia , che 

 soddisfa alla condizione o <6' < 1. 



(*) Si dimostra che se la convergenza uniforme della (6) ha luogo per un certo sistema di cerchi (.r, , p/), 

 essa ha del pari luogo per ogni altro sistema di cerchi (.; , , {/,). 

 ( ) C. L. 55 6. 



('•"'•""•■■") Uno dei numeri a, l>. c può essere °o . 



( ' ) Ognuno dei numeri /■, /, /// può essere 00. Dire che è /.•=<» significa, ad es. per (7 finito, che la 



funzione f,,. [x] — a è identica a << ovv ero non si annulla per o -c^ | .r [ <^ i . 



("*"*"*■**") Se la funzione è identica a " il suo ordine (00) s'intende, per ogni x e per ogni /■, divisibile per k. 



,1 / I \i 



(****•**) È quanto dire che (/'/, (.r) — <?)''', rispettivamente (— Jfr , è nell'intorno di ogni zero, nel 



V//' (-1)/ 



campo " <^ I ) 1 <^ I ■ uniforme. 



