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Carlo Severin/ 



[Mkmouia \'11.J 



Il teorema precedente può essere generalizzato considerando, come nei teoremi 11 e IV, 

 quantità complesse dipendenti dall' indice //. Si airiva così al 



Teorema VI : (*) Siano le fnnsioìii (lìialiliche : 



(«) /« (-v) (//= I,2,....,cx)) 



per I X I < 1 ììieroiiiorfe; e siano k, 1, m tre miiiieri, positivi (ciasaiiio dei quali 

 può essere oo ) tali che si abbia : 



k l ÌU ^ ' 



Ad ogni funzione (8) siano inoltre associate tre differenti costanti complesse 

 a„ , bn , c„ colle seguenti condizioni : 



a) per nessuna successione parziale n,^ , per la quale esistono : 



lim a,,.,, = «, lini — , lini c,,,^ = if 



co v= oo V:^: QO 



due qualunque delle tre quantità a, jj, '{ risultino eguali; 



b) per o < I X I <C 1 /' ordine di ogni .zero di (x) — a^ {rispettivanieìite di 



^ se a,! = x- ) sia divisibile per k : ed il niedesinio si verifichi se a„ e k con 



b„ ed 1, ovvero con c„ ed m, vengono rimpiazzati. 



Inoltre esista in infiniti punti, aventi almeno un punto limile interno al cer- 

 chio (o, 1 j, // 



lim /„ (.r) , 



e questo limite sia, almeno in un punto, finito. 

 Esiste allora per ogni ] x j < ì il 



lim /„ (.V) =/(.v), 



ed f (x) è per | x | < I una funzione nieromorfa. Di più la (8) tende uniforme- 

 mente ad f (x) nei punti di (o, 6), ove f) è una quantità fìssa, qualsivoglia, che sod- 

 disfa alla condizione o < < 1 . 



4. — Il metodo col quale gii Autori arrivano ai due precedenti teoi'emi si fonda es- 

 senzialmente sopra i seguenti l'isultati , le cui condizioni risultano , come essi mostrano , 

 soddisfatte nelle ipotesi dei detti teoremi. 



A. '**) Siano : 



(9; F,, U) («=1, 2, ,co). 



per 1 x I < 1 funzioni ad un valore (f**) : non occorre che siano analitiche. 



(*) C. L.. § 7. 



(**) Cfr. MONTEL : Lerons sur Ics si'/ ies f/t ., 1. c. pp. 21-22 — C L. § 6. 

 (**"*) Qui, come si è detto, viene introdotto quale valore anche il simbolo <» 



