Sulla convergenza uniforme delle successioni di funzioni analitiche 



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Se da ogni successione parziale infinita della (9) si pub estrarre una nuova 

 successione parziale convergente per | x I <C 1 ad una funzione meromorfa , la 

 successione (9) converge per { x [ <C 1 ad jum funzione meromorfa {*) , ovvero 

 r insieme dei punti di convergenza della (9), nel cerchio (o, 1), noìi ha nessun punto 

 limite interno a questo cerchio. 



B. (**) Le funzioni (9) siano per ] x j < 1 rtrf //;/ valore , e si possa da ogni 

 successione parziale infinita della (9) estrarre una nuova successione parziale, 

 la quale per \ x \ <i \ converga ad una funzione meromorfa , ed uniformemente 

 nei punti di (o, 6), ove 6 è tuia quantità fìssa qualsivoglia, che soddisfa (dia con- 

 dizione () < S < l. Se la successione (9) converge per | x ) < 1, essa converge uni- 

 formemente per I X I ^ 0. 



Riprendendo dopo ciò il teorema VI è chiaio, ferma restando 1' ipotesi che in infiniti 

 punti, aventi almeno un punto limite interno al ceichio (o, 1), esista il 



lim f„ (.V) , 



Il = 00 



e che questo limite sia, almeno in un punto, finito, che alla medesima conclusione si può 

 giungei'e tutte le volte che è possibile da ogni successione pai'ziale infinita della (8) estrari'e 

 una nuova successione parziale , soddisfacente alle condizioni di quel teorema. Ciò ha 

 luogo, come subito si vede, ammettendo che ciascuno dei numeri interi positivi k, l, m 

 possa vai'iare con //, mantenendosi, quando non è oo , inferiore ad un limite fìsso, finito. 

 Si ha così il 



Teorema VII. Le funzioni analitiche : 

 (10) ■ /„ U'> (//= l,2,....,co) 



siano per ] x | <C l meroinorfe. A ciascuna di esse si possano associare tre nu- 

 meri k„, 1,,, m„, ognuno dei quali sia intero positivo inferiore ad un limite fnito 

 assegnabile, ovvero , /// modo che si abbia: 



e tre differenti costanti complesse a^ , b„, c„ colle seguenti condizioni : 



a) per nessuna successione parziale n^ per la quale esistono : 



lim a„^ = a, lini b„^ = {i, liin c,,^ =z 7 



V= ce y:= co V=: co 



due qualunque delle tre qunnlilà a, [j, 7 risultino eguali; 



b) per < ! X j < 1 /' ordine di ogni zero di f„ (x) — a,, fispetlivaìnentc di 



(*) In un polo della funzione limite ciò significa, come sopra è detto, che il limite della successione è . 

 (**) C. L. § 6. 



