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Carlo Seveniii 



[Memoria N'II.l 



se a„ = oc) sia divisibile per k„ ; ed il inedesiiiio si verifichi se a,, e k„ ven- 



gOìio rimpiazzai i con b,, ed 1,,, ovvero con c,, ed m,,. 



Esista inoltre in infiniti punti , aventi almeno un punto limiti' inlerno al 

 cerchio (o, 1), // 



lini /„ (.V) , 



e questo limite, in mi punto almeno, sia anche finito. 

 Esiste allora per ogni | x j << 1 // 



lim /„ (.V) ^ / {X) 



ed f (x) è per J x | < 1 una funzione meroniorfi. Di più la (IO) converge uni/or - 

 inemente ad f (x) nei punti di (o, fi), ove è una quantità fssa, qualsivoglia, che 

 soddisfa alla condizione o <C tì <C l. 



5. — Le ipotesi del teorema VII, che, come abbiamo visto, è una generalizzazione 

 del teorema VI (e del V) comprendono per 



C„ = 00 (// = 1, 2,....,cxd) 



quelle del teorema II e quindi quelle del teoiema I. 



D' altra p.ii'te, se si sa che una successione di funzioni analitiche : 



(11) /. (-v) (n=\, 2, ....,00) 



regolari per | .v | <^ 1 converge per | .v | <r 1 , nel senso del precedente , ad una Fun- 

 zioiìe meromorfa f (.v), ed uniformemente nei punti di lo, 6') , o\ e è una costante tìssa, 

 qualsivoglia, che soddisfa alla condizione o < 6 < 1 , si può senz'altro asserire che la / [x) 

 è per I I <^ 1 regolai'e. Per ogni valore fissato 6' di d si può infatti trovarne un altro 

 maggiore 0", tale che sulla circonferenza (o, 0") non cadano poli di / (.v) : la (11) con- 

 verge alloi'a uniformemente, nel senso ordinario, su tale cii'conferenza, e quindi in tutto il 

 cerchio (o, &'), ciò che prova quanto abbiamo dianzi asserito. 



Dal teorema VII si l'accoglie per le successioni di funzioni analitiche, regolari il se- 

 guente 



Teorema Vili. Le funzioni analitiche 



(12) /„ (.v) (;/= l,2,....,oo> 



siano per j x | ^ I regolari. A ciascuna di esse si possano associare due nu- 

 meri kn , In , ognuno dei quali sia intero positivo inferiore ad un limite finita 

 assegnabile, ovvero x) , tali che si abbia : 



"■n '/( 



^ < 1 in=l, 



