Sulla coiivergeii.sa luiì forine delle siiccessioìii di Juìibìoìiì (tiialit/che 



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e dite differenti quaiililà complesse a,,, b„, minori in modulo di una costanle po- 

 sitiva finita, colle segnenti condizioni : 



a) per nessuna successione parziale n,^ , per la quale esistono : 



\\m == a , lim b,,^^ = p 



00 oo 



risulti oc = p ; 



b) per o < i X j < 1 l'ordine di ogni zero di \\ (x) — ap e di f„ (x) — b„ sia 

 divisibile rispettivamente per k„ ed 1,,. 



Esista inoltre in infiniti punti, dvenli almeno un punto limite interno al cer- 

 chio (o, 1 ), // 



lim fn {x). 



Ilr^ oo 



e questo limite sia, almeno in un punto, finito. 



Esiste allora, per ogni j x j <C 1 , determinato e finito, il 



lini ,/;, (.V) = f (X) , 



11= oo 



ed f (x) è per j x ; •< 1 una funzione regolare. Di più la (12) tende uniforme- 

 mente ad f (x) nei punti di (o, G), ove è una quantità fìssa, qualsivoglia , die 

 soddisfa alla condisione o < fi' < 1 . 



6. — Il teorema Vili può essere generalizzato in modo eia non escludere che le fun- 

 zioni (x) — a„, fn (.v) — 6,i possano ammettere degli zeri, il cui ordine non sia divisi- 

 bile l'ispettivamente per k„ ed /„. 



Merita in modo speciale di essere enunciato il seguente teorema IX , che subito si 

 dimosti'a con ragionamento analogo a quello svolto nei §§ 5, 6, S della mia Nota citata 

 in principio : 



Teorema IX. Le funzioni analitiche 

 (13) /„ {x) (/; = l,2,....,cx:) 



siano per | x ! ^ 1 regolari. A ciascuna di esse si possano associare due numeri 

 kru 'n, ognuno dei quali sia intero positivo inferiore ad limite finito assegnabile, 

 ovvero oo, tali che si abbia : 



^ ~ <\ (//= l,2,..,co)„ 



e due differenti quantità complesse a,,, b„ , minori in modulo di uiut costante po- 

 sitiva finita, colle seguenti condi.zioni : 



a) per nessuna successione parziale n,^ , per la quale esistono: 



