memoria. XX. 



Sulle equazioni funzionali 



Nota III di CARLO SEVERINI 



In questa terza Nota mi occupo, come nelle due precedenti, di equazioni funzionali 

 del tipo Volterra con una variabile indipendente, rimandando ad altra occasione lo studio 

 delle equazioni con più variabili indipendenti. Generalizzo dapprima il risultato ottenuto 

 nella Nota II, (**) relativo all'equazione non lineare di prima specie: 



passo quindi a considerare equazioni di ordine superiore, alle quali dà luogo l'introduzione 

 di nuove operazioni, che si ottengono, applicando più volte, nel modo che sarà precisato al 

 § 6, l'operazione definita, per // funzioni continue {x), ^.^ (.v), . . . , (x), dall'integrale: 



operazione pienamente determinata, quando sia nota la / (.v, y, s^, ... , 3„), che chiameremo 

 la sua fuìisioìie caratteristica, finita, assolutamente continua, e tale che il precedente in- 

 tegrale abbia significato in un intorno di .Vo. 



1. Nella Nota II (§ 7) ho dimostrato 1' esistenza di una soluzione per l'equazione (I), 



ammettendo che le funzioni note $ {x,y,s:), F (x) fossero finite, assolutamente continue 



3 3 (.1 



insieme alle loro derivate prime (I> {■/', y, ^) , <1> (./', y, s) , F (x) , nel campo : 



(3) I X— .Vo \ ■^a, I V— A-o \ ^a , \ b- 3^ \ , 



ove Xo , à'o sono due quantità assegnate quasivogliano, a q b due costanti positive, e che 

 soddisfacessero alle condizioni : 



F (xc) = 0, ^J) (.Vo , , = F (Xo), I $ (.V, y, s) — d) (x, y', b) \ B \ y—y' 



(1) 



(2) 



1^ (& {X, y, z) - ^ <I) (.v, V, s) ■<,H \ x-x' I , $ (.r, .r, b) ^ m , 



F' (X) — F' (x'ì \^H\ x—x' I , 



con H ed /// costanti positive, finite, non nulle. 



(*) Comunicata all'Accademia nell'adunanza del 2 Maggio 1912. 



ATTI ACC. StRIK V, VOL. V. Man. XX. 



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