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Carlo Severi ni 



[Memokia XX.] 



Il procedimento seguito per arrivare a questo risultato si fonda essenzialmente sulla 

 possibilità di costruire, nelle dette ipotesi, due successioni infinite di polinomi razionali 

 interi : 



(4) 0, {?\y.3), F, (.v) 



in modo che risulti nel campo (3): 



(V = 1, 2, . . . . ,c«). 



^ «5, (A-, V, b) 1 ^ A' + a,^ 



>■ 111 — a,^ 



(5) 



a. 



F' (X 



F{x) - F,, ix] 



ove K è una quantità positiva, maggiore od uguale dì H e del massimo valore assoluto 

 di (.V, A', b), e s' intende che sia : 



una successione di numeri positivi, minori di //;, decrescenti, tendenti a zero. 



Vogliamo ora far vedere che la costruzione dei polinomi (4) colle condizioni (5) è 

 possibile sotto ipotesi meno restrittive per le funzioni ^(x,y,B), F{x). 



Cominciamo coli' occuparci dei polinomi Fv (x). 



Consideriamo la funzione: 



F, (.V, k) 



k u 



F, (//) e 



Il — X 



. 2 



(in 



ove // è una nuova variabile reale, k un parametro reale, positivo ed F^ (u) una funzione 

 coincidente con F {-u) per ogni u compreso fra Xo — a ed xo-\-a, costantemente eguale 

 ad F {xo—-n) per ii<X(, — a, costantemente uguale ad F(Xo-\-a) per ;/ > .Vo <7.. 

 Per ogni valore fisso non nullo di k, la F, (x, k) rappresenta, come si sa ("), una fun- 

 zione trascendente intera della variabile x, ed al tendere di k a zero, tende in egual gra- 

 do ad F {x) nell'intervallo (.Vo — a, Xo^n). 



— x 



Ponendovi it in luogo di — — si ha: 



F, {x, k) 



1 



1/^ 



F^ (x lui ) e " du . 



(*) Cfr. ad es. Bore/ : Lerons sju' les fonctions de variables réelles et les developpemenis en sè7'ies de 

 polynomes ; Paris, Gauthier — Villars, 1906. 



