Sulle equazioni fiinsioìiali 



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(18) 



il che è possibile per la convergenza uniforme delle tre precedenti serie. 

 Dalla (11) e dalla (16) segue allora: 



e dalle (10), (12), (17) : 



F' (.r) - F: i.v) 



(Xo — « ^ X ^ a-o -f «) , 



Vo — — <^v<:xo-\- 



5 ) 



I polinomi Fv [x) devono anche soddisfare alla condizione che le loro derivate se- 

 conde si mantengano in tutto 1' intervallo (.vo — a, xo -f- a) minori, in valore assoluto, di 

 una costante positiva finita. Perchè ciò si verifichi basta supporre che nell' intervallo 

 {xo — a, A'o -j- a) si abbia, pei- ogni /? reale non nullo : 



F (X 4- 'Mi) -h Fjx) - 2 F (,r + II) 

 h- 



H essendo la solita costante positiva finita, perchè allora, avendosi: 



•+ co 



dx 



- (,r, A'J = lim 



l F, {x^K «-f 2//) + F, {x^K F, (.r+/e, u + //) 



// = o \ T. 



dli. 



segue immediatamente ; 



e quindi per la (18): 



dx^ 



d^ 

 d:f- 



F, (-r. A-, ) 



H 



Riguardo ai polinomi (I>v [x,y,s) le condizioni (5), che essi devono verificare, si tro- 

 vano analogamente soddisfatte, se si ammette che si abbia nel campo (3), per ogni li reale, 

 non nullo: 



i>(x + //,v, ^)- 



-a)(.r,3',^) 



h 





(X. v4- /^ s) 



— 0) (X, V, 3) 



li 





0) (a-, x,3^h) 





VI 



d) (.r -f- 2 h, V, ^) + [X, v, 3) — 2 (!> (x -f v, 3) 

 /?2 



H 



H ed 111 essendo, come sopra, costanti positive, finite, non nulle. 



Da quanto abbiamo fin qui detto si raccoglie il seguente teorema : 



