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Carlo Severi Ili 



[Memoria XX.] 



Nel campo: 



(3) 



X — A'o \ -^a, I y — .Vo I ^ rt, I 3' — ^•o I < & , 



ove Xo, Zo 50;/o ^///<' quantità assegnate qualsivogliano ed a b dite costanti posi- 

 tive, la funzione *I>(x, y, z) sia finita, assolutamente continua e soddisfi, per ogni 

 h reale non ìiullo, alle condizioìii : 



+ 3) — (I> (.V, V, s) 



{x, y h,s) — ^ [x, y, s) 



h 



{X, X, s -\-h) — <D (X, X, s) 



h 



m, 



(,« + 2/?,3%3) -(-O (X, V, ^) — 2(D {.JC-^rh, v, 3)\ 



H ed m essendo due costanti positive, finite, non nulle. 



Sia aiu ora F (x) una funzione finita e continua ìieW intervallo [^^ — a, Xo + a), 

 con derivata finita e continua in un intorno (x„ — o, xo ^ o) del punto xo, soddi- 

 sfacente inoltre alle condizioni : 



F{x-^ h) — F{x)\ 



F (X + 2//) -f- F(x) — 2 F{x-{-hV 



Ir 



F{x^) = , F' (xo) = iì){x^, x„, . 



Se con L s' indica la maggiore /Ielle tre quantità H, , e con 1 la mi- 

 nore delle due quantità a, I ^ ~r -'^ ^ /// ogni intervallo {Xo — 1 -{- £, xo -)- 1 — ;) , 



ove £ è un numero positivo, minore di 1, die può essere scelto arbitrariamente 

 piccolo, esiste almeno una funzione finita e continua (x), che soddisfa all'equa- 

 zione : 



(2) / <D {x,y, o iy)) dy = F {x) , 



ed assume per x=Xo il valore zo. 



Osservazione. — Un risultato analogo può stabilirsi per un sistema di equazioni non 

 lineari di prima specie : 



(]), ix, V, -i/, ( V), ?2 iy) , — ,(?n(yì) dy — F, [x) 



(/= 1,2,...,;/), 



come è facile vedere, e come d' altronde segue anche dalle considerazioni che andiamo a 

 fare. 



2. Il sistema 



d^ 



'(19) =f (X, z, ix), ...,Zn(x))^ g,{x,z, [x),... , Zn {x)) l {x,y,z^ (y) , ... z,, iy) ) dy 



{i= 1,2,...., n) 



