Sulle equazioni fuìisiouali 



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che ci ha servito di base per le ricerche dianzi esposte (*) non è che un caso particolare 

 di una classe assai vasta di sistemi di equazioni funzionali, ai quali i risultati per esso 

 stabiliti possono facilmente estendersi. 



Per determinare la classe dei sistemi di equazioni funzionali, a cui alludiamo, ripren- 

 diamo l'operazione (2) che, come abbiamo osservato, è pienamente determinata, quando è 

 nota la sua funzione caratteristica /(.v, y, z^, z,, ). 



Date p funzioni finite, assolutamente continue, di // -j- 2 variabili : 



(20) X (.r,v, (./■= 1,2,. . . . ,/)) 

 ed una funzione di ?/ -j- -{- 2 variabili: 



(21) g (.r, V, ^, , . . . , ^„ ; //,,..., n,, ) 



anch' essa finita, assolutamente continua, c' è luogo a considerare le operazioni : 



(22) I X (.V, y, (y) ,B„{y))dy (7=1.2 , p) 



, -Vi, 



relative alle funzioni caratteristiche (20) e 1' operazione composta: 



(23) / g {.r\v,B, ( V) ( V) ;/ /. (v, /, (/)) df, ■■■ J //- iyJ^^^in, (/)) </f\ dy 



-Vo J -Va 



che ha per funzione caratteristica la (21), se gì' integrali che per le (22) e la (23) occorre 

 considerare hanno significato in un intorno del punto .vo. Ad indicare che le condizioni 

 per ciò richieste sono soddisfatte, diremo brevemente che le (20) e la (21) costituiscono 

 insieme un sistema completo di fiinsioni carntten'sticlie. Si può così continuare e con- 

 siderare operazioni di ordine superiore rispetto a dati sistemi completi di funzioni caratte- 

 ristiche, convenendo di dire del primo ordine le operazioni che come la (2), operano im- 

 mediatamente sulle funzioni date b^(x), . . . , Sn{^'): del secondo ordine quelle, in cui del 

 sistema di funzioni, alle quali si applicano, fanno parte funzioni dedotte dalle funzioni date 

 mediante operazioni del primo ordine, e cosi via. 



Ciò posto consideriamo un sistema di equazioni della forma: 



(24) B, (.V) + d),- dy = t\ (.V) (/ 



l,2>, 



ove le 0,, che come le (.r), si suppongono finite, assolutamente continue, dipendono ora 

 da .r, V, iy), . . . , .z,, (y) e da un certo numero di operazioni di diversi ordini, quali 

 sopra sono state definite. 



Il sistema (19j, più generalmente il sistema: 



i 



' =X [■'', -^1 (•'•),•■•■- C'^'), g, (./', V, .s, iy), .... , B„ (v))dy \ (/= 1, 2, ... , in 



dx 



•Vu 



(*; Cfr. Nota II. 



