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Carlo Severini 



[Mli.MORlA XX.] 



che può scriversi : 



(25) B,{x)^ /,U,s,{t),...,,^„{t), g,,(t,y,s,{y\...,3Ay))'iy\dt^s'r {i=\;2,...,n), 



J -t'o J Xo 



se con 5"/°' s' indicano i valori iniziali fissati per le Si (x) nel punto Xo, rientra eviden- 

 temente, come sopra abbiamo detto, nella classe delle equazioni funzionali ora definita. 



Lo studio del sistema (24) non presenta difficoltà, giacché mediante l'introduzione di 

 funzioni incognite ausiliarie può essere trasformato in un sistema equivalente della 

 forma : . . . ■ 



(26) Hi (x) + / «F, U,y, n, (yj, .... , u,„ {y) ) dy = G, {x) (/ = 1, 2, .... , m) 



J -t'o 



che abbiamo già considerato (*). 11 sistema (25) ad esempio, è equivalente al sistema : 

 u, {x) = 1 g,: (x,y, (y),. . . . , Bn (y) ) dy 



J -Vo 



(/= 1,2,..., Il) 



^, M = / ,/;■ iy, 3, (V), . . . . , s„ iy), u, ( v) ) ^(v 



J -ro ' ' 



Un sistema come il sistema (26), che nelle ricerche, di cui ci occupiamo, ha impor- 

 tanza fondamentale, lo diremo un sisteiini normale di equazioni fiiìizionali di seconda 

 specie del tipo Volterra. . . . 



Il numero delle equazioni del sistema normale (26), equivalente al sistema proposto 

 (24), servirà a definire /' ordine di quest' ultimo. 



E ovvio che le precedenti considerazioni si applicano in particolare ad un' equazione 

 del tipo ; ■ - 



dx" 



ove la funzione F, che si suppone al solito finita assolutamente continua, dipende da 

 d d"^^^ 



X, ^ , , ^ „_7 e da un certo numero di operazioni di diversi ordini, quali 



ds d"'~^ B 



sopra sono state definite , applicate a z, ^ , , ^^^,„i-i ■ ■ . , 



*) Nota 1, § 13- 



Calaiiia, Aprile igi2. 



