4 



Giorgio Aprile 



[Memoria V.] 



CAP. I. 



Cenni su una trasformazione doppia nello spazio a quattro dimensioni. 



§ 1. Generalità. 



1. Cinque iperquadriche di uno spazio S, a quattro dimensioni, aventi a comune una 

 stessa cubica gobba (irriducibile) c 3 e tre punti non collineari 1\ (i = 1, 2, 3) fuori dello 

 spazio di questa, e tali che il loro piano x non si appoggi alla c 3 , determinano un si- 

 stema lineare co 4 di iperquadriche dello spazio 5, sistema il quale verrà in seguito 

 indicato con 2. 



Si osservi che : ogni spazio del fascio avente a sostegno il piano t = T { T t T 3 , 

 completa con lo spazio p , della cubica c :j , una iperquadrica del sistema 2. 



Detto S' un altro spazio, pure a quattro dimensioni, che supporremo sovrapposto al 

 primo, si assegni una corrispondenza proiettiva fra gli spazi (S 3 ) a di S' e le iperquadri- 

 che a di 2 : tale corrispondenza la indicheremo con Q. 



2. Siano : 



— P un punto generico di 8', — a', (i= 1, 2, 3, 4) quattro spazi qualunque uscenti 

 da P' , — ed «, [i = 1, 2, 3, 4) le iperquadriche corrispondenti in H agli spazi predetti. 

 Per le ipotesi fatte (n. 1) tre qualunque di queste ultime, ad es. a l oc 2 a 3 , hanno a comune 

 la cubica c 3 ed una quintica s 5 , passante per i tre punti 7", , ed appoggiatesi alla c 3 nei 

 cinque punti in cui s 5 incontra lo spazio p : sicché la rimanente iperquadrica a 4 incontra 

 la predetta s s , fuori della c 3 e dei tre punti T t , in due punti P, P i variabili col dato 

 punto P'. 



Discende di qui e dal n. 1 che agli oo 3 spazi a uscenti da P' corrispondono, nella 

 Q, oc 3 iperquadriche di 2 passanti per i punti P, P t e formanti un sistema lineare, in 

 virtù della data proiettività S. 



In tale modo viene stabilita una trasformazione W dei due dati spazi a quattro di- 

 mensioni : ad ogni punto P di S' corrispondono, nella trasformazione W, due punti P, P t 

 di S ; mentre a ciascuno di questi ultimi corrisponde, nella medesima Ti 7 , il solo punto P' 

 di S'. 



Chiameremo trasformazione doppia, degli spazi S, S', la predetta trasformazione W. 



Seguendo le notazioni usate dal De-Paolis ( 9 ) per le trasformazioni doppie dello spazio 

 ordinario, diremo spazio doppio lo spazio S', spazio semplice lo spazio S , e chiame- 

 remo trasformazione congiunta quella involutoria che in S fa corrispondere ad un punto 

 P il suo congiunto P t che insieme con P corrisponde, nella W, ad uno stesso punto P' 

 di S' ; chiameremo congiunte due figure di S se sono generate da punti congiunti. Pos- 

 siamo pertanto asserire che : se due figure di S sono congiunte fra loro tutte e sole 

 le iperquadriche di 2 passanti per una di esse, passano anche per V altra. 



(°) DE PAOLIS — Le trasformazioni doppie dello spazio — [Atti Acc. Lincei (4) v. I (1884-85)]. 



