Su due complessi di rette, dell' S 4 , d'ordine due e della terza specie 15 



coni di A aventi i vertici nei punti di essa ; un cono del complesso ne contiene 

 una sola ( 14 ). 



31. Detto A' un generico punto di %' } e a' il cono di A che ha tale punto per ver- 

 tice, si noti che ogni spazio passante per A ha per corrispondente in S una iperquadrica 

 tangente in P al piano a, corrispondente al cono sudetto. 



Direttamente si può dimostrare come segue. Se r è una qualunque retta dell' iper- 

 stella (P), ed r la retta di A ad essa corrispondente, un qualunque fascio di iperquadri- 

 che del sistema £ seca r in una punteggiata, proiettiva a quella che il fascio corrispon- 

 dente di spazi seca su r : epperò esiste su r un punto A' corrispondente al (solo) punto 

 P di r, siffattamente che ogni spazio, di 8', passante per A' ha per corrispondente una 

 iperquadrica tangente ( 15 ) ad r nel punto P. 



Sia a una generatrice del cono P- k 3 ed a la retta ad essa corrispondente; retta del 

 fascio {H\ %), H' essendo il punto in cui %' si appoggia alla retta I;' (n. 3). 



Un qualunque spazio p' passante per a' seca A nella rigata R' h (avente a' quale retta 

 direttrice n. 25), luogo delle rette corrispondenti a tutti e soli i raggi della iperquadrica [i 

 uscenti dal punto P \ raggi che formano il cono quadrico traccia di P sullo spazio a tan- 

 gente a questa in detto punto. Questo spazio contiene la tangente p alla c 3 nel punto P, 

 e la tangente h alla £3 nel medesimo punto. Al variare di p' nello steiloide {ci) , lo spa- 

 zio a (dovendo passare per p, h, ed a) non varia ; sicché mentre Z?'s percorre tutti e soli 

 i raggi di A appoggiantesi a %' lungo i punti della retta a' , il cono quadrico corrispon- 

 dente genera la stella (P, a). Cioè, indicando con 5 il piano ph (tangente alla rigata cu- 

 bica K nel punto P), si può concludere che : 



Ai raggi della iperstella (?) giacenti in un qualunque spazio del fascio (0), 

 corrispondono tutti e soli i raggi del complesso A, che si appoggiano al piano 

 singolare rc' lungo un medesimo raggio del fascio (H', %'). 



Ovvero : 



Gli ckj 1 coni quadrici di A i cui centri percorrono un medesimo raggio a del 



( 14 ) Una conferma di alcune delle suesposte proprietà si ottiene dalle considerazioni che seguono. 



Scelti tre punti generici di 3, per essi, e quindi per a, passa una sola iperquadrica p, del sistema co 3 

 delle iperquadriche di 2 passanti per la predetta tangente p (n. 5). 



La quartica ò, traccia di fio sul cono P-X* 3 , ha per corrispondente in rc' la retta />', traccia su questo piano 

 dello spazio p' ; tale b' è luogo dei punti in cui i raggi corrispondenti a quelli del fascio (P, a) si appoggia- 

 no a 



D' altra parte detto a un qualsiasi raggio di detto fascio, a' il raggio ad esso corrispondente, a' un qua- 

 lunque spazio uscente da questo raggio ed a la corrispondente iperquadrica ; questa seca ulteriormente a in 

 un'altra retta, la cui corrispondente dovendo appartenere ad c.', ed incontrare il piano ic' in un punto di b', 

 risulta incidente a questo piano nel medesimo punto «V. 



Due raggi qualsiasi uscenti da /', non hanno per rette corrispondenti due rette incidenti, poiché, in 

 generale, esse non stanno in una stessa superficie del sistema [a 4 ] : — ne discende che i punti A' di tali 

 raggi sono, in generale, distinti. 



A qualunque spazio di S' che contiene quattro punti A'i , appartenenti a quattro raggi r' 1 (i ~ 1,2,3,4) 

 di A, corrisponde una iperquadrica di 2 tangente in A alle quattro rette r, , epperò agli spazi che congiun- 

 gono tali rette tre a tre. La iperquadrica succennata è dunque un So-cono avente il vertice in 



Osservando che gli .S' -coni del fascio (ic 4 ) sono tutti e soli quelli di 2 aventi il vertice in segue che 

 i punti .)' percorrono il piano ~'. Confermato cosi il risultato del n. 3. 



