Saggio di Geometria ad infinite dimensioni 



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gura qualunque di U -u avente punti in U—t , corrisponde in U'-h una figura passante per 

 questi stessi punti. Inoltre ad un S, di U—h corrisponde (n° 24) un S' t di U'-h , onde in 

 particolare alle rette di U—h corrispondono le rette di U'-h ; ad un ultraspazio U— s di U-h 

 corrisponde (n 1 12 e 18) un ultraspazio U'- s di U'-h, onde, in particolare, agli ultrapiani 

 di U—h corrispondono gli ultrapiani di U'-h ■ 



La corrispondenza in esame chiamasi prospettività ; 8 ne è il centro. 



36. Supponiamo ora che i due ultraspazi U-h e U'-h coincidano, e si fìssi un ultra- 

 piano U—(h+i) e tre punti collineari distinti 0,A,A' fuori di questo. 



Ciò posto scelto un altro punto generico B di U-i,, il piano O AB seca U—( r -\-i) in 

 una retta s ; nell' omologia piana di centro O, asse s, e A, A' punti omologhi, a B cor- 

 risponderà un certo punto B' che assumeremo quale corrispondente di B in U'-h . Si ot- 

 tiene in tal modo fra i punti di U—h e quelli di U'—h una corrispondenza biunivoca tale 

 che due punti omologhi sono sempre collineari con O, e ogni punto del dato ultrapiano 

 t7_(; ( _|_i) è un punto unito ( 30 ). 



E poi facilissimo dimostrare che ad una retta di U-h corrisponde una retta di U'-h > 

 e queste due rette si secano in Z7 • Ne segue, evidentemente, che ad un S n di U-h cor- 

 risponde un S'„ di U'—h, e questi due iperspazi si secano in un S n -\ di U-[h+D- 



Analogamente ad un ultraspazio U— s di U—h , corrisponde un ultraspazio U'- s di U'-h , 

 e questi due ultraspazi si secano in un U-{ S +i) di / '. /, r ] . Infatti sia P un punto di U- s 

 fuori dell' ultraspazio U-( S +\} = U— s ^— (fe+i) , e sia P' il suo corrispondente : è facile di- 

 mostrare che all' ultraspazio U'— s = P'U-( 3 +ì) appartiene ( 31 ) il corrispondente di un qua- 

 lunque punto di U—s . In particolare dunque agli ultrapiani di U-h corrispondono gli ul- 

 trapiani di U'-h ■ 



La corrispondenza in esame chiamasi omologia ; O ne è il centro ; U-(j,+i) ne è 

 1' ultrapiano d' omologia. 



Con gli ordinari ragionamenti si dimostra che un'omologia è anche individuata qualora 

 si conoscano il centro, 1' ultrapiano d' omologia, e due qualunque ultrapiani corrispondenti. 



E anche facile definire la caratteristica dell' omologia, e quindi 1' omologia armo- 

 nica : ecc. 



37. In U— T siano dati n-\-l ultraspazi U-i , U'—i,.... , U- l ) in posizione generica 

 tra loro, e due qualunque consecutivi (nell' ordine scritto) siano (n° 35) prospettivi. Si ot- 

 tiene in tal modo fra i punti di U-\ e una corrispondenza biunivoca tale che ad un 

 S h qualunque di U-i corrisponde (n° 35) un S^' di U-) , e ad un U- s qualunque di U-i 

 corrisponde un U-l di U—j . 



Si osservi, inoltre, che 1' ultraspazio comune (n° 20) agli n-\-l ultraspazi dati, è evi- 

 dentemente luogo di punti uniti per la detta corrispondenza biunivoca ; dunque possiamo 

 concludere che per questa è luogo (''") di punti uniti un U-[{ n -\-i)i— nr] ■ 



(™) Si dimostra come nell'ordinaria Geometria Proiettiva che la coppia A,.i' può essere sostituita da 

 qualunque altra coppia di punti omologhi per la costruzione della detta corrispondenza. Ne segue che anche 

 nella retta OA EE OA' esistono infinite coppie di punti corrispondenti (che costituiscono una proietti vita). 



( 31 ) Se M è un qualunque punto di U—s . basterà osservare che alla retta l'M corrisponde la retta che 

 da P' proietta il punto comune alla stessa PM e ad U—(s+t)> onde M 1 appartiene ad f"_ s = P' t ',,.+./) • 



( 3i ) Si noti che, come caso particolare, potrebbero esistere punti uniti non comuni a tutti gli «+i ultra- 

 spazi dati: p. es. per n — 2 e l~r-\-i se la retta congiungente i due centri di prospettiva incontra 

 1' f'-(zi-r)EE f_(»'42) comune ad U—t e U", in un punto che sia fuori dell' U—(r+3) comune a tutti e tre gli 

 ultraspazi dati. 



