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Giuseppe Mariella 



[Memoria IV.] 



33. In generale, se fra i punti di due figure F e F di U~ r esiste una corrispon- 

 denza biunivoca tale che ogni punto di F' si possa ottenere facendo rotare il suo corri- 

 spondente di F intorno ad U-( r +2) costantemente nello stesso senso (n° 32) e di un an- 

 golo dato, si dirà che la figura F' si è ottenuta facendo rotare la figura F intorno ad 

 U-( r +2) nel senso dato e dell'angolo dato. 



34. Siano dati due ultraspazi propri U- r e U'— r secantisi in un U—( r +\) , onde essi 

 sono immersi (n° 21) in un U—( r — i), e si tiri (n° 27) il piano S 2 perpendicolare ad U—(r+\) 

 in un punto P. 



Indicando con S, e S\ le rette (n° 24) tracce di U— r e U'— r in S 2 , l'angolo (acuto 



A 



o retto) S l S' i si dirà angolo dei due ultrapiani U- r e U'- r ( 28 ). 



A 



Ciò posto si faccia rotare U— rì intorno ad Z7_(r+i), dell'angolo S l S' l ; è chiaro che 

 la figura così ottenuta sarà precisamente 1' ultrapiano U'— r . Ne segue ( 29 ) che i due ul- 

 traspazi U— r e li'-,- sono eguali. 



In generale gli ultraspazi U— r e U'— r si sechino in un U—i , e si conduca per que- 

 sto, per un punto generico di U— r e per un punto generico di £/"_,. , un U"_ r del resto 

 arbitrario. Evidentemente basterà dimostrare U- r ~U'l r (e analogamente U'_ r =U'L ì ) per 

 poi dedurre U_ r = £/"_, . Se dunque si osserva che gli ultraspazi U_ r e U'L r non hanno 

 in comune soltanto U-i , ma bensì si secano (n° 11) in un U-q-i) , possiamo ridurci, ap- 

 plicando successivamente lo stesso procedimento, a dover dimostrare l'eguaglianza di U—r e 

 un £/*_,. secantisi in un U—(r+i), ciò che si fece in principio di questo n°. Possiamo dun- 

 que affermare che effettivamente è U- r = U'— r . 



Concludiamo dunque che 

 due tilt raspasi propri aventi lo stesso rango sono figu re eguali. 



§ 4. 



Prospettività, omologia, ultrasfera. 



35. In un U— r siano dati due ultraspazi distinti U-h e U'—h ; fissato, in U- r , un 

 iperspazio iì = Sh—r—i non avente alcun punto comune con essi, si dicano corrispon- 

 denti un punto di U-h e uno di U'—h ogni qual volta appartengano (n° 24) ad uno stesso 

 Sh-r passante per Q. 



L' U—t, con t < 21/ — ;•, comune ad U-u e U'—h , è evidentemente il luogo dei punti 

 uniti, cioè dei punti ognuno dei quali corrisponde a se stesso ; ne segue che ad una fi- 



( 28 ) Al variare del punto P in U—(r+i), il piano S 2 varierà rimanendo sempre parallelo (di i a specie) a 



A 



se stesso, onde l' angolo S l S\ , sarà di grandezza costante. 



("') Se M i e N i sono i piedi delle rette perpendicolari condotte ad U—( T \-f) da due qualunque punti M 

 ed N di U-r, il quadrangolo semplice MM^N^N è evidentemente eguale all'altro M' , M i N y N' ', onde sarà 

 MN=M'N'. In quanto all'eguaglianza delle figure, ci riferiamo alla definizione seguente: « Due figure si 

 dicono eguali quando fra i loro punti esiste una corrispondenza biunivoca, in modo che il segmento che con- 

 giunge due punti qualunque di una di esse, sia eguale al segmento che congiunge i punti corrispondenti del- 

 l' altra figura. 



Se si volesse introdurre il moto (senza deformazione) nel senso meccanico, allora si dimostrerebbe su- 

 bito che due ultraspazi propri e u' sono eguali. Infatti posto U-r==(S r , P) e U' EE P"), ba- 

 sterà far coincidere S r e S' r in modo che coincidano /'e P' . affinchè evidentemente coincidano pure U- r 

 e U'- r . 



