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in £/_,. costituiscono 1' S^_ r ora detto. 

 Concludiamo che 



dato un ultraspasio proprio U_, , tutte le sue rette perpendicolari ad un suo U_ L 

 in un dato punto proprio di questo, costituiscono un iperspazio S'i_, . 



28. In particolare, dunque, per 1= r -(- 1 possiamo (n° 27) affermare che dato un 

 £/_,. proprio, esiste in questo una sola retta perpendicolare ad un dato ultrapiano (di £71,.) 

 e passante per un punto dato. 



29. tn un ultraspazio proprio £/_,. sia dato un iperspazio proprio S h ; il luogo delle rette 

 di £/_,. perpendicolari ad S,, in un punto proprio P di esso, è (n 1 6, 3, 20) un ultraspazio 

 che indichiamo con £/_,. . Ala (n° 27) dev'essere — x-\-h — — r, cioè x = r-\-h, dunque ( 25 ) 

 dato un ultraspasio proprio U_ r , tutte le sue rette perpendicolari ad un suo S h 

 in un dato punto proprio di esso, costituiscono un ultraspazio (J_ (r +h) • 



30. Sia S\ una retta propria di un ultraspazio £/_, ; le rette di questo perpendicolari 

 ad S t in un suo punto proprio P, costituiscono (n° 29) un ultrapiano £7_( r +i) ■ Assumia- 

 mo come corrispondenti il punto improprio So di S, e l' U—^+z) improprio di U—( r +i). Si 

 ottiene in tal modo fra i punti e gli ultrapiani dell' ultrapiano improprio U ' — di £/_,. , 

 una corrispondenza biunivoca tale che ai punti di un S t corrispondono (n 1 29 e 6) gii ul- 

 trapiani passanti per un U— (r+i+2) , e ai punti di un U-u corrispondono (n 1 11 e 27) gli 

 ultrapiani passanti per un Sh-r-%- Osserviamo inoltre che, sempre in U'—^+i) , agli ul- 

 trapiani passanti per S, , corrispondono i punti del sopradetto U—( r -\-i+-ì) • Possiamo dunque 

 dire che la corrispondenza sopradetta, esistente fra i punti e gli ultrapiani di U'— , è 

 involutoria ; essa sarà chiamata polarità assoluta di £/"_,• , e spazi polari si diranno un 

 iperspazio e un ultraspazio di U'— (»q-i) che si comportino tra loro come S, e U—( r +i-\-%) ■ 



Si noti che due spazi polari sono (n° 26) spazi duali in U'—( r +i), e che due spazi 

 di U-r sono o no perpendicolari tra loro, secondo che i loro spazi impropri appartengono 

 ovvero no a due spazi polari, cioè, come diremo, secondo che questi spazi impropri sono 

 o no reciproci rispetto alla polarità assoluta di U— r ( 26 ). 



31. Sia £7_(t4-2) un dato ultraspazio proprio di U- r ; le rette perpendicolari ad esso 

 in un suo punto proprio P costituiscono (n° 27) un piano S._, . 



Ciò posto siano M ed M L due punti di S 2 equidistanti da P ; dii-emo che il punto Mi si è 

 ottenuto facendo rotare il punto M intorno ad U- { r+2) ■ Si dirà inoltre che M è rotato 

 dell' angolo (convesso o piatto) M{P)M l nel senso dell'arco MM i (del cerchio di centro P). 



32. Indichi S'„ il piano perpendicolare ad £/L( r +2) in un altro punto proprio P' di 

 questo, e siano M' e M { ' due punti di S' 2 equidistanti da P'. Diremo che M i e M t ' si 

 sono ottenuti facendo rispettivamente rotare M e M' nello stesso senso o in senso op- 

 posto, secondo che gli archi MM K e M'M K ' hanno o no lo stesso senso considerati nei 

 piani paralleli (di l a specie) S 3 e S' 2 ( 27 ). 



( 2 "') Si noti che è Si, il luogo delle rette di U-r perpendicolari ad U—x in P ; infatti se esistesse una retta 

 Si, fuori di Sh , e perpendicolare ad U- x in /'. o.^ni retta di ('-,■ sarebbe perpendicolare all' == S t Su , 

 cioè ogni retta di f/-,- perpendicolare ad 8/ t in /', sarebbe perpendicolare ad Sh+ì , e ciò evidentemente è 

 assurdo. 



( 2li ) Due spazi (iperspazi o ultraspazi che siano) diconsi perpendicolari tra loro, quando ogni retta del- 

 l' uno è perpendicolare a tutte le rette dell'altro; cfr. l'annotazione ( ?4 ). Si cfr. pure l'annotazione (°). 



I piani 182 e &t sono paralleli (di i a specie) perchè ogni ultrapiano di U—r passante per U— (,-4. 

 li seca in due rette che, come si dimostra facilmente, sono parallele. 



AT.l! ACC. S\ikìE V. VOL. X — Mem. IV 



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