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Giuseppe Martella 



'["Memoria IV. 



È poi evidente che gli ultrapiani di un fascio si possono mettere (n 1 24 e 11) in cor- 

 rispondenza biunivoca continua coi punti di una retta ; quelli di una rete si possono met- 

 tere (iV 24 e 12) in corrispondenza biunivoca continua con (le rette di un piano, e quindi 

 con) i punti di un piano ( 19 ). 



Si osservi, infine, che un fascio è individuato (n° 18) da due qualunque dei suoi ul- 

 trapiani, e una rete (n° 18) da tre. 



§ 3. 



Diialilìi, perpendicolarità, rotazione. 



26. Dato un ultraspazio £/_,. , siano U-i e S n un ultraspazio e un iperspazio di £/_,.. 

 Diremo che U_ t e S n sono spazi duali (in £71,.) quando ( 20 ) è — l -f- n = — r — /. 



Al punto -S , dunque, è duale 1' ultrapiano £7_( r + t ) ; alla retta S l è duale 1' Z7_ (#--(-2) ; 

 al piano & è duale 1' £7_ (r+3) ; e così via. 



Siccome le proprietà sin ora osservate degli ultraspazi sono ( 21 ) le medesime pro- 

 prietà fondamentali degl' iperspazi, proprietà per le quali questi soddisfano alla legge di 

 dualità, così possiamo affermare che 

 in ogni ultraspasio la legge di dualità esiste. 



È noto, per esempio, che se un Si e un S n si secano in un S c , essi sono immersi 

 in un Si+n-t ; applicando la legge di dualità in un ultraspazio £/_,. , si ha che se un 

 U~(r+i+i)Q un Z7-(r+M+i) sono immersi in un U-( r +t+i) , essi si secano in un U—( r +i+ n -t+i) , 

 e ciò è (n" 18) vero ( 22 ). 



27. Consideriamo un U—i proprio di un ultraspazio (proprio) £/_.,. , e sia P un qua- 

 lunque punto proprio di £7_ z , onde (n° 9) è U- L = (S, , P). 



Ciò posto si osservi che essendo ( 23 ) £/_/ ed Si immersi nell' ambiente assoluto, an- 

 che U-r ed Si godono della stessa proprietà, onde (n" 24) essi si secano in un S t - r . Ma 

 il luogo delle i-ette perpendicolari ( 2 '') ad £/_/ in P è Si , dunque le rette siffatte e poste 



( 19 ) In U—,i si abbia un U— t ' ', ogni U— r , di f ; — „, passante per U—,-/, seca (n° 24) un generico n— 1 

 in un S,'—,—\ : viceversa dato un S r /_,_j di S,j— n —t . rimane individuato (n° 12) un ('—,■ passante per 

 Possiamo dunque concludere che 



gli U_i , dì U— 11 , passanti per un U_[' , si possono mettere in corrispondenza biunivoca continua con gli 

 Sr'— r— 1 di mi Si'— 11 — I . 



Per — /■ — — n — / e — r — — n — 2, per — r — — n — / e — r' ~ — n — j si ottengono i 

 casi particolari considerati nel testo. 

 ( 2n ) Or. 1' annotazione ( 9 ). 

 Ctr. I' annotazione ('•'). 



C 25 ) È noto, p. es.,. che gli Si di un dato S n sono in numero (/+/) (« — /) volte infinito. Dualmente, 

 neir U-r , gli U—( r +i+i) passanti per un dato U-( r + n +i) sono pure in numero (/+/) [n—lj volte infinito, e 

 ciò d' accordo con quanto si concluse nell' annotazione ( Ul ). 



r 3 ) Infatti f— / ed S/ hanno in comune soltanto il punto P, e quindi (n° 23) essi sono immersi in U . 



( 24 ) Dato un ultraspazio proprio U—i e un suo punto proprio P, diremo che una retta è perpendicolare 

 ad U—i in P, quando essa è perpendicolare a tutte le rette di U—i passanti per P (e quindi a tutte le rette 

 di U-l ). Ciò posto si osservi che se è U—iEE(Si , P), è S/ il luogo delle rette perpendicolari ad U—i in P; 

 infatti se fosse S i una retta, fuori di Si , perpendicolare ad U—i in P, ogni retta di U—t sarebbe perpen- 

 dicolare, in P, all' S/ + / EE&i Si , ciò che (n° 13) è assurdo. 



