Saggio, di Geometria ad infinite dimensioni 



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21. Siano ora dati due ultraspazi £7_< e £/_/, immersi in Z7_,. e secantisi (n° 20) in 

 un UL t . Per il teorema del n° 18 è 



— t = (— /) + ( — h) — (— r) , da cui — r — ( — /) -\-(—h) — ( — /). 

 Concludiamo che ( 14 ) 



se due ultraspazi U_ z e U_/, si secano in un U_ e , essi sono immersi in un 

 U(_z)+(-;o-(-o • 



22. Sia F una figura immersa in un ultraspazio U_ r , e sia J* un punto fuori di que- 

 sto ; le figure F e P giacciono nell' U—{ r —i) ottenuto (n" 11) proiettando £/_,. da P. Se 

 poi esse appartenessero ad un UL r , questo conterrebbe (n° 19) U- r , cioè (n° 13) sarebbe 

 C/L-rEE ULr , ciò che è assurdo perchè / J è per ipotesi fuori di U-r. 



Concludiamo che la figura F e il punto P sono immersi (n° 17) in U—{ r —i) • 



23. L' ultraspazio £< 7 _ r e V iperspazio S n si sechino in un S c ; si vuol dimostrare che 

 essi sono immersi in un U-( r -n+t) . 



a) Esaminiamo prima V ipotesi n = t -\- 1. 



Proiettando U- r da un punto P di S n , ma che sia fuori di S t , si ottiene (n u 11) 

 un U—( r —i) che contiene U_ r e S n . Questi, poi, sono immersi in quest' U—^—i) , perchè 

 se appartenessero ad un ZJL r , questo coinciderebbe (n° 13) con £/_,. , ciò che è assurdo 

 perchè S n non appartiene, per ipotesi, ad £7_ r . 



b) Si ammetta ora che il teorema sia vero per n ; lo dimostreremo vero per n-\-l. 

 Si conduca, infatti , per S c un iperpiano 8 n dell' dato ; questo S n e ?7_ r , per 



quanto si è ammesso, sono immersi in un l]~[ r — n +t) che non contiene ( 15 ) S n+1 . Ne se- 

 gue che U-r, S n , e un punto P di '?iì+i posto fuori di U-~(r—n+t) , sono immersi (n° 22) 

 in un JJ-(r-n-l+t) ■ 



Concludiamo dunque che ( 16 ). 

 se un ultraspazio U_, e un iperspazio S„ si secano in un S t , essi sono immersi 

 in un U(_r)+w-i • 



24. L' ultraspazio U_ r e 1' iperspazio S n siano immersi in un U-i . Indicando con S ( 

 V iperspazio secondo cui si secano ( 17 ,i, è (n° 23) 



— / = (— r)-\-n — t, cioè t = ( —r) A-n — (— /). 



Dunque { lfi ) 



se un ultraspazio U_,- e un iperspazio S„ sono immersi in un U.-i , essi si se- 

 cano in Un S(— r )+n-{— l) • 



25. In un ultraspazio £/_„ sia dato un U—{ n +V) ; 1' ente i cui elementi sono gli ultra- 

 piani (n° 15), di U- n , passanti per esso, si chiamerà fascio di ultrapiani. 



Analogamente, dato un U—( n +3) , l' ente i cui elementi sono gii ultrapiani, di £/_„ , 

 passanti per esso, si chiamerà rete di ultrapiani. 



(") Cfr. I' annotazione ( 9 ). 



C 5 ) Infatti preso in Sn+ì un punto B fuori di Sn , ammettiamo che B appartenga ad L^( r —n.+t)> ultraspa- 

 zio, questo, che si può (n° 12) costruire proiettando U— r da un Sn—t—i generico di S n ■ Allora l'S n —c =BS n - 1-\ 

 incontrerebbe U— r in un punto A che non appartiene ad St (perchè altrimenti S n -t . e quindi B, apparter- 

 rebbe ad Sn ), onde U~r ed S n +\ avrebbero in comune I' Sl-\-\ EE AS( , e ciò è assurdo. 



( 16 ) Cfr. 1' annotazione ( 9 ). 



( 17 ) La figura dei punti comuni ad U-r e Sn . è tale che se contiene due punti distinti di una retta, con- 

 tiene (n° 7) questa; dunque, giacché la figura appartiene a un iperspazio, è essa stessa un iperspazio. 



( 18 ) Cfr. l'annotazione ( 9 ). Per — r-\-n-\-l U—r e S n non hanno alcun punto comune. 



