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Giuseppe Mariella 



[Memoria IV. 



§ 2. 



Immersione ; intersezione. 



17. Una o più figure si dicono immerse in un ultraspazio U_ y , quando esse appar- 

 tengono a questo, ma non appartengono ad alcun ultraspazio U_ L con — l <C — r. 



18. Siano £/L, e U_ h due ultraspazi immersi (n° 17) in un U_ r . 



a) Cominciamo ad esaminare 1' ipotesi che essi siano ambidue propri. 

 Ammesso che esista un punto proprio P comune ad U_ t e U_ h , si può (n" 9) sem- 

 pre porre 



U_,. se {S r , P) , U_, = (S t , P) , U_ h = (S, , P). 



1 due iperspazi S L e S n hanno in comune (n° 16) S r , ne alcun altro punto, perchè 

 se essi avessero in comune un S n , con ;/ > r, i due ultraspazi U_ L e U_ h apparterreb- 

 bero ad U_„ = (S n , P), ciò che è assurdo perchè per ipotesi questi due ultraspazi sono 

 immersi (n° 17) in U_ r . Ne segue che S t e S h sono immersi in un *S , i+?l _ r , onde U_, e 

 U_ n hanno in comune ( u ) 1' U_ (L+h _ r) = (S l+h _ r , P). 



b) Se U_ L e XJ_ h non hanno alcun punto proprio comune, ma uno almeno di essi, 

 p. es. U_i , è proprio, proiettando da un punto proprio A di U_ t , si ottiene (n° 11) 

 1' #-(/t-i) = A TJ_ n che insieme con 0_ l sono immersi in U_ r . Ne segue, per la dimostra- 

 zione fatta, che essi si secano in un U-^-i+i-r) , il cui ultraspazio improprio U-y+n-r) è 

 evidentemente la figura comune ad t/_; e Z7_ ;i . . 



c) Se, infine, ambidue gli ultraspazi TJ_i , U_ h sono impropri (onde pure improprio 

 è U- y ), proiettando da un punto proprio P si ottengono (n° 11) gli ultraspazi 



U- {r -l) = PU-r, U- G -i)~PU-l, U- (,»_!) = PLL h , 



gli ultimi due dei quali sono immersi nel primo ( 12 ), onde essi, per la dimostrazione fatta 

 avanti in a), si secano in un U—Q—i+h-i-r+i) = U—a+h-r—i) , il cui U—Q+h—r) improprio è 

 evidentemente la figura comune ad £/_/ e £/_/, . 



Dalla discussione fatta possiamo concludere che ( 13 ) 

 due ultraspasi \]_ L e U_/, immersi in un U_ r , si secano in un U ( _o-h-;i)-(-<') • 



19. Ne segue che se una figura immersa in un £/_,. appartiene ad un U- h (— — r ), 

 questo contiene £/_,. . 



infatti nel!' ipotesi contraria U_ k e U_ r avrebbero in comune (n° 18) un ultraspazio 

 Z7_. s , — s<C. — y, cui apparterrebbe la data figura, ciò che è assurdo perchè questa è im- 

 mersa in £/_,. . 



20. Siccome, inoltre, è (n° 18 a) sempre l -\- li — r^>0, così possiamo affermare che 

 due e quindi 



più ultraspasi hanno in comune un ultraspasio. 



( u ) Nè alcun altro punto, perchè ogni retta comune ad U—i e U— h e passante per P, dovendo essere 

 perpendicolare ad Si ed anche ad Sn , sarà perpendicolare all'iperspazio in cui questi sono immersi, cioè ap- 

 parterrà all' U—(j,+k—r) del testo. 



Infatti se essi appartenessero ad un U'— r (certamente proprio perchè tale è P), U—i e U—n appar- 

 terrebbero all' U—{r+i) improprio di questo, ciò che (n° 17) è assurdo. 



( 13 ) Cfr. l'annotazione ('•'). 



