Saggio di Geometria ad infinite dimensioni 



proiettando un ultraspasio U_, da un iperspazio S u non avente alcun punto to- 

 ni une con esso, si ottiene un U_ (r _ u _i) . 



Si noti che per r — n -f- / è C/L( r _ ;i _ 1) = U == ambiente assoluto. 



13. Siano dati i due ultraspazi £71,. e £71,,/, con — /> — r; si vuol dimostrare che 

 £71,.* non è parte di £7_,. , eccetto il caso che sia r' = r e i due ultraspazi coincidano. 



Supponiamo primieramente che i detti ultraspazi siano propri, e precisamente si abbia, 

 com'è (n° 8 c, e n° 9) sempre possibile, EE (S,. , P) e UL r , EE ( S',.r , P). Se questo 

 ultraspazio è parte di quello, tutte le rette di UL r i passanti per P sono perpendicolari ad 

 S r , oltre che ad <S' r > : se dunque questi due iperspazi non coincidessero, tutte le rette di 

 £71,./ passanti per P sarebbero perpendicolari ad un Si ove è / 1> r , ciò che è assurdo ( 7 ). 

 Dunque dev' essere S r EE S' r < , e quindi £7_ r = UL r i . 



Consideriamo ora Y ipotesi che £71,., sia improprio e parte di £71,. anch' esso impro- 

 prio ( 8 ). Proiettandoli ambidue da un punto proprio A, si ottengono (n° 11) gli ultraspazi 

 propri UL( r r-i) = AUL r t e ZTL^—i) EE AU— r , e per quanto si è dimostrato, risultando U'_ (I ,,_ X) 

 parte di 6L ( ,._i, , dev' essere U_ (r ,_ X) = f/L ( ,._ 1) , e di conseguenza £71,. EE ?/'_,./ . 



Concludiamo dunque che 

 per — r'> — r «m Ul,./ é parte di un U_,., //é c/ò <? possibile per — r'= — r, 

 eccetto il caso die i due ultraspasi coincidano ( 9 ). 



14. Sia dato un ultraspazio £71,. EE (£,. , P) ; per 1' 8 r si conduca un qualunque Si 

 (onde è />;•)• Siccome ogni retta perpendicolare ad S t in P, è di conseguenza perpen- 

 dicolare ad S r (ma non viceversa), si deduce che l'ultraspazio U-i EE (Si , P) è contenuto 

 in i/1,-. 



Se, invece, £7_ r è improprio, applicando quanto si è dimostrato all' £7_(,._i) proprio 

 di cui U-r è il luogo dei punti impropri, si ottiene un U-i contenuto in £7_(,._i) , e YU-^^ , 

 luogo dei punti impropri di £71/ , appartiene evidentemente ad U_,. . 



Concludiamo che ( 10 ) 



in ogni ultraspasio U_,- esistono infiniti ultraspasi U_ ; , oì>£ (n° 13) è — 1<C — r. 



15. Gli ultraspazi £/_ ( ,. + ]) contenuti (n° 14) in un £L r , saranno chiamati ultrapiani 

 di questo. 



16. Siano dati gli ultraspazi £7_,.E=(S r , P) e UL r r~(S' r ', P), ove £71,./ è parte di 

 £7_,. , onde (n° 13) è — /<< — r, ovvero è — r'= — r e son coincidenti i detti ultraspa- 

 zi. Si vuol dimostrare che 1' iperspazio S r appartiene ad Sy . 



Infatti se così non fosse, ogni retta di U'_ r ' passante per P , essendo perpendicolare 

 ad S r , oltre che ad S' r > , sarebbe perpendicolare ad un Si , ove è / > r , e ciò è assurdo. 

 Dunque 



se Ul,-' EE (S',< , P) appartiene ad U_, ■ EE (S r , P), S r appartiene ad S' r > . 



( 7 ) Infatti e evidente che essendo S' ,■• parte di Si , con >■' < / , esistono rette perpendicolari ad SV rna 

 non ad Si . 



I s ) Se f'-,- fosse proprio, v'—v sarebbe parte dell'i/— (r+i) luogo dei punti impropri di U- v , e si ragione- 

 rebbe come nel testo, venendo alla conclusione che l' U'—^— i) ==A L' — r> sarebbe parte di U—r = AU—(rW), 

 ciò che è assurdo per la dimostrazione già fatta nel testo, e dopo avere osservato che /•' — / non è eguale ad r. 



(") A cominciare da questo punto, e si vedrà molto meglio in seguito, si può osservare che il numero 

 opposto al rango fn" 6) degli ultraspazi, si comporta, per questi, come la dimensione per gì' iperspazi. Sareb- 

 be quindi forse conveniente dare agli ultraspazi il nome di « spazi a dimensione negativa » denominazione 

 non propria ma utile. 



( 10 ) Cfr. 1' annotazione ('■'). 



