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Giuseppe Marletta 



[Memoria IV.] 



vuol dimostrare che la figura S U_ r , ottenuta proiettando Z7_ r da So , è un ultraspazio, 

 e precisamente è un U-( r -i) ■ 



a) Cominciamo a supporre che sia £/_,.= (S r , P); sia inoltre S anche proprio e, 

 coni' è sempre (n° 9) possibile ammettere, fuori di S r . 



L' /SV+i = S 8 r seca evidentemente U- r nell' unica retta AP perpendicolare ad 8 r e 

 posta in esso S,.+i ". e seca la figura S U- r nel fascio di rette di centro So esistente nel 

 piano APS . Ciò posto si costruisca nel detto S r -\-i 1' S r -i perpendicolare a questo piano 

 in So ; si vuol dimostrare che è So U— r = U~(r—\) = (S r —i , 8 ). 



Sia infatti PB una qualunque retta perpendicolare ad S r , e quindi posta in U- r ; la 

 PB è perpendicolare a tutte le rette di 8 r , e quindi anche alle rette di 8 r —i perchè que- 

 ste sono parallele ad S r ( 5 ) ; in altri termini possiamo dire che PB è perpendicolare al- 

 l' S r -t . Ne segue che questo essendo perpendicolare alle rette PSo e PB, è perpendico- 

 lare al piano BPSo , e quindi a tutte le rette che da S proiettano i punti di PB. In al- 

 tri termini: 8 r —i è perpendicolare a qualunque retta che da S proietta un punto di £/_,., 

 cioè S U_ r è parte di U-. {r -i) = , S ). 



Viceversa sia S i una qualunque retta perpendicolare ad S r _ i in So. L S = S t Sr—i 

 incontra U- r (almeno) in un punto (n 1 6 e 3) che congiunto con S dà, per quanto si è 

 ora dimostrato, una retta S'[ perpendicolare ad S,— i . Ne segue S'i = S\ , ed ecco che S\ 

 incontra Z7_ r , cioè ogni retta perpendicolare ad S r -i in So, si può ottenere proiettando 

 da So un punto di U_ r . Dunque è S £/_ r . = U-(r-i) = (S r -i , S ). 



b) Se, invece, S è improprio, si scelga un punto proprio S' fuori di U- r e di S r . 

 Detto A un qualunque punto di £/!,., siccome la retta congiungente A con la traccia della 

 retta S S' in U- r , appartiene al piano AS S' e (n° 7) anche ad U_ r , così la retta S' A 

 appartiene alla figura S U- r , e la retta S ^4 alla figura S'o U- r , cioè S Z7_ r =S' £/_ r . Ma 

 si è sopra dimostrato che S' Z7_ r è un £/l ( ,—i) proprio, dunque anche S Z7_ r è un U^ (r _ X) 

 proprio. 



c) Supponiamo ora che U- r sia improprio ed S proprio. 



Che la figura S U- r sia un U- { ,—i) proprio, fu dimostrato nel n° 10. 



d) Siano, infine, impropri e S . 



Detto U-( r -\) 1' ultraspazio proprio di cui U- r è il luogo dei punti impropri, la fi- 

 gura S 27_( r _i) è, per la parte b), un U- { ,—-ì) proprio. 



L' Z7-(r-i) luogo dei punti impropri di questo, contiene (n° 7) la figura S ^7_ r , anzi 

 coincide con questa, perchè i punti impropri di S si ottengono soltanto quando da 



S si proiettano punti impropri di £/!(,— i) , cioè punti di £/"_,.. Possiamo dunque affermare 

 che è So U_ r = Ul { ,—i) . 



Concludiamo dunque che 

 proiettando un ultraspasio U_ ; . rf« punto fuori di esso, si ottiene un ultra- 

 spazio U_ (r _i) . 



12. Applicando successivamente il teorema del n° precedente, si può concludere ( 8 ) che 



( 6 ) Infatti se SoM è una retta di Sr— ì . essa determina col piano APS un S 3 che seca 1' S r in un pia- 

 no 5 2 . Or siccome AP è perpendicolare ad S 2 , sarà APS perpendicolare ad ,S 2 • Ma anche S M è perpen- 

 dicolare ad APSo , e quindi S M, essendo parallela ad So , è parallela ad S r . 



(") Che il rango dell' ultraspazio Sn U— r , per ?■> n + 1 , sia r — n— i , si può dimostrare direttamente 

 facendo vedere che esso ha un sol punto comune con un S r -n-i generico. 



