Sagg/o di Geometria ad infinite dimensioni 



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7. Se una retta ha due punti distinti in nn ultraspasio, essa giace in questo. 



Infatti siano A eB due punti distinti dell' ultraspazio proprio £/!,. = (S' r , P'); ognu- 

 na delle rette Af, BP' è perpendicolare a tutte le rette di S' r . Ne segue che una qua- 

 lunque di questa passante per P', è perpendicolare al piano ABP\ onde la retta AB ap- 

 partiene all' ultraspazio C/1,. . 



Se, poi, i punti A e B appartenessero all' ultraspazio improprio U- t , per quanto ora 

 si è dimostrato la retta AB apparterrebbe all' U—(i—i) proprio di cui, per definizione (n 1 4 

 e 6), U-i è il luogo dei punti impropri. Ma AB è una retta impropria, quindi essa appar- 

 tiene ad U-i . 



8. Dal teorema del n° precedente si deduce che 



a) la parallela ad una retta di un ultraspazio condotta per un punto di questo, 

 giace in questo medesimo. 



b) Ne segue ancora che in un ultraspazio esistono infiniti iperspazi S„ , n qualun- 

 que ; anzi se un S„ ha n-\-l punti linearmente indipendenti neh' ultraspazio, esso appar- 

 tiene a questo. 



c) Osserviamo infine che (n 8, b) due ultraspazi hanno sempre infiniti punti comuni. 



9. Sia l'ultraspazio proprio £/_,. = (S' r , P'). Se S" r è lo spazio, ad r dimensioni, pa- 

 rallelo di 1° specie (/') ad S' r e passante per un qualunque punto proprio P" di U- r , si 

 conduca per P", in £/_,. , una retta S'/ ad arbitrio, e da P' la parallela Si a questa. Sicco- 

 me S[ , che (n° 8, a) giace in £/_,. , è perpendicolare ad S',. , sarà anche Si' perpendico- 

 lare ad S'r . Viceversa, se Si' è una retta perpendicolare ad 8't, in P " , la parallela S[ ad 

 tS'i , condotta per P', risulterà perpendicolare ad S\ in P', cioè apparterrà ad £/"_,, , e di 

 conseguenza (n° 8, a) anche Si' apparterrà ad £/"_,. . Ne segue che questo ultraspazio si 

 può anche costruire come il luogo delle rette perpendicolari ad S" r in P" , cioè £/"_,. = (&',., P"). 



Concludiamo che 



ogni ultraspasio proprio ammette infinite coppie generatrici. 



10. Siano dati l'ultraspazio improprio U_ r e il punto proprio P ; sia inoltre 

 j7'_ (r _i)= ($.-1 , P ) l'ultraspazio proprio di cui (n° 6) U_ r è il luogo dei punti impropri. 



Indicato con *S',.-i lo spazio, ad r — / dimensioni, parallelo di 1" specie ad e pas- 

 sante per P, è evidente che la figura ottenuta proiettando da P tutti i punti di U- r , coin- 

 cide coli' £/L,,._i) = (S,,_, , P). Concludiamo dunque che 



ogni ultraspasio improprio U_ r è il luogo dei punti impropri di infiniti ultra- 

 spasi propri U_ ( ,._i) . 



11. Siano dati un ultraspazio £/_,. e un punto S fuori di esso, onde è — y< 0; si 



sia S" una retta perpendicolare ad S r +i in A m , onde essa è impropria : nell' SV+a =S/'S/-+i . S\" passa 

 per il polo di S'r , e quindi lo spazio (ad r — / dimensioni) polare di S" apparterrà ad S'r . e dovendo esso 

 essere polare di A x nella polarità assoluta di Sr+i , sarà precisamente Sr—ì • Ne segue che le rette proiet- 

 tanti da /' i punti di .S'i' . risultano perpendicolari ad Sr , cioè appartiene ad U—r ■ Concludiamo dunque 

 che il luogo / dei punti impropri di U—r è ££_(,.+!) = (Sr+ii A x ). 



Si osservi infine che un altro modo di definire gli ultraspazi (propri o impropri) è quali spasi lineari 

 (ligure, cioè, alle quali appartiene una retta qualora abbia con essi due punti distinti comuni) tali che ognuno 

 di essi goda della seguente proprietà : esiste un numero (intero positivo) finito r, da chiamarsi rango, tale 

 che ogni S r abbia coli' ultraspazio un sol punto comune ovvero (ma non sempre) infiniti punti comuni. Ma 

 con questa definizione, della quale ci serviremo in altri lavori, si va incontro all' obbiezione se possano esi- 

 stere spazi lineari 'non iperspazi) privi di rango (spazi che si potrebbero chiamare ultraspazia rango infinito)- 



( 4 ) Cioè Si e S" hanno in comune un S,—ì improprio. 



