Giuseppe Marletta 



[Memoria IV.] 



in P e poste in quest' S% r -\-\ , generano un S r +i (parte di F) che non avendo per ipotesi 

 infiniti punti comuni con S,. , ne avrà uno solo. 



Si osservi, inoltre, che F non è contenuta in alcun iperspazio ; infatti dato un S n 

 qualunque, sia S m un iperspazio che contenga S',. e S n . Scelto (n° 1) un punto A fuori 

 di S m , si ottiene un S r +i = AS' r che ha in comune con S m Y S' r nè alcun altro punto. 

 Ne segue che la retta perpendicolare ad S' r in P e posta nell' Sr+i , siccome non giace 

 in S' r , non appartiene all' 8 m , e quindi nemmeno all' S„ , mentre essa appartiene ad F. 



4. Si osservi che la figura / luogo dei punti impropri di F, è incontrata in un sol 

 punto da ogni S r +i che non abbia con essa infiniti punti comuni. 



Infatti siccome un S r generico di S r +i ha un punto solo comune con F, la figura 

 comune a questa e ad S r +i è una retta, il cui punto improprio ( 2 ) è Y unico punto co- 

 mune ad / e ad S r +i . 



E da notare, ancora, che /, come (n° 3) F, non appartiene ad alcun iperspazio, per- 

 chè altrimenti F, che evidentemente è la proiezione di / da P , apparterrebbe anch' essa 

 ad un iperspazio. 



5. Una figura F che, come la F e la I (n. 1 3 e 4), sia incontrata in un sol punto 

 ovvero (ma non sempre) in infiniti punti da qualunque S t , non può godere della stessa 

 proprietà rispetto a qualunque S h con h -< /. 



Infatti siccome ogni Si ha almeno un punto comune con F , per // ^> / ogni S/ ; a- 

 vrebbe sempre infiniti punti comuni con F'\ se poi fosse h <C l, allora sarebbe ogni Si ad 

 avere sempre infiniti punti comuni con F'. 



6. L'ambiente assoluto U, , la figura F, e i luoghi dei loro punti impropri saranno 

 chiamati spasi {lineari) ad infinite dimensioni, o anche, per amor di brevità, ultra- 

 spazi. 



Se un ultraspazio è incontrato (n 1 3 e 4) in un sol punto ovvero (ma non sempre) 

 in infiniti punti da qualunque S t , esso sarà indicato con U_i , e il numero / ne sarà il 

 rango. 



Se ì punti di un ultraspazio sono tutti impropri, esso sarà chiamato improprio, al- 

 trimenti sarà chiamato proprio. 



Dunque, p. es., la figura F (n° 3) è un £/_,. proprio, mentre la figura I (n° 4) è 

 un U— (r+i) improprio. 



Quando 1' ultraspazio è proprio, e p recisamente (n° 3) è il luogo delle rette perpendi- 

 colari ad un S' r proprio in un punto proprio P di questo, si dirà che l'iperspazio S' r e il 

 punto P costituiscono una coppia generatrice delPultraspazio ; si scriverà U- r ={S' r , P). 



Assumeremo lo come rango dell' ambiente assoluto U a ( 3 ). 



( 2 ) Questa retta non è impropria perchè, per ipotesi, Sr±i e / non hanno infiniti punti comuni. 



( 3 ) Si è dato senz' altro il nome di uliraspazìo alla figura / per amor di semplicità ; ma basta togliere 

 nel n° 3 la condizione che P' sia proprio, aftinché sia possibile poi dimostral e che anche la figura / è il 

 luogo delle rette (improprie) perpendicolari ad un .SV+1 proprio in un punto improprio di questo. 



E invero sia U— r =(5> . P) un ultraspazio proprio (onde P è proprio) ed A ^ un suo punto improprio; 

 la retta PA m è dunque perpendicolare ad S r in P. Posto SV4-I = A m S r , si vuol dimostrare che il luogo / 

 dei punti impropri di U— r , è V U—{r+i) = {Sr-{-l , A m )- Si conduca infatti un 5,-+2 per S,<+i ', la retta im- 

 propria S\ , del piano posto in e perpendicolare ad S r in P, appartiene ad U- r \ inoltre siccome essa 

 è la polare (nella polarità assoluta di Sr+ì) dell'.?,-— 1 improprio di S r , così il polo dell' S'r EE A „ Sr— 1 giace 

 in S'j medesima, onde questa retta, che già passa per A ^ , è perpendicolare ad Sr-n in A «, . Viceversa 



