Memoria IT. 



Saggio di Geometria ad infinite dimensioni, 

 Nota di GIUSEPPE MARLETTA 



Per quanto io sappia, quel poco che si conosce degli spazi ad infinite dimensioni e 

 stato trattato analiticamente, anzi si può addirittura affermare che la Geometria entri, nei 

 pochissimi lavori sui detti spazi, soltanto come utilità di linguaggio (*). Si noti, inoltre 

 che lo spazio a cui si è accennato dagli analisti è ad un numero di dimensioni infinito 

 ma numerabile. 



Dal punto di vista geometrico possiamo dunque dire che nulla si sa di Geometria ad 

 infinite dimensioni ; ho creduto quindi interessante imprenderne una trattazione sistematica, 

 che io esporrò in varie Note via via che le mie ricerche mi daranno risultati sodisfacenti. 



In questo Saggio costruiti gli spazi ad infinite dimensioni (che io chiamo ultraspasi) 

 ne studio le intersezioni e 1' immersione, la dualità, la perpendicolarità, la prospettività e 

 1' omologia. 



La trattazione è perfettamente analoga a quella degl' iperspazi , e ciò in virtù di 

 un' idea, semplice ma felice, per la quale si usa di un certo numero (detto rango) che 

 preso col segno negativo funge nella teoria degli spazi ad infinite dimensioni, tale e quale 

 come il numero delle dimensioni nella teoria degl' iperspazi. 



§ 1. 

 Pie li in in a ri. 



1. Postulato : 



Dato un iperspazio esiste un punto che non appari iene ad esso. 



2. La classe di tutti i punti che esistono sarà chiamata ambiente assoluto, e sarà 

 indicata con U . 



3. In U sia dato un iperspazio proprio S' r con r^>0; le rette perpendicolari ad 

 esso in uno stesso suo punto proprio P', generano una figura F che è incontrata in un 

 sol punto da ogni S r che non abbia con essa infiniti punti comuni. 



Infatti un S,. siffatto (') e L' S' r giacciono in un S-2,-+i ; le rette perpendicolari ad S' r 



(*) Cfr., p. es., i lavori di S. PlNCHERLE, e specialmente: 



Cniìio sulla Geometria dello spazio funzionale [Rendiconti della R. Accademia di Bologna, febbraio 1897]; 

 Appunti di calcolo funzionale distributivo [Rendiconti del R. Istituto Lombardo, serie 2" , voi. XXX (1897)]; 

 Lo spazio funzionale e le sue omografie [Giornale di Matematiche, voi. L (1912)]. 



(') Volendo un Sr che non abbia infiniti punti comuni con F, si può procedere come segue. Si conduca 

 per S'r un Sar+f! in questo le rette perpendicolari ad S' r in P', generano un S ; .f 1 che ha un sol punto 

 comune, e non infiniti, con un S r generico di Szr+i ■ Deduciamo, inoltre, che esistono infiniti S,> ognuno dei 

 quali ha con /■' un sol punto comune. 



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