Sul problema dell' induzione magnetica 



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(13) e (14) sono le equazioni che vanno sostituite alla (6) quando p si supponga risp. 

 funzione di 2° o di 1° grado in U. 



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Si tratta ora di vedere se le condizioni : di essere funzione armonica all' interno ed 

 all'esterno di S, di annullarsi all'infinito, e di soddisfare entro tutto S e su a all'equazione che 

 prende il posto della (0) o della (7) — siano atte a determinare completamente le funzioni U 

 o W. E noto in quale semplice modo si dimostri l'unicità della soluzione nel caso classico, 

 in cui p non si fa dipendere dalla forza magnetica. Il procedimento ordinariamente seguito, 

 nel quale la linearità delle (6) e (7) è una circostanza essenziale, non è estendibile al caso 

 nostro, anche in causa della ignoranza in cui ci troviamo circa le proprietà di certi coef- 

 ficienti che si presentano nell'espressione di p, analoghi ai coefficienti d' eredità che com- 

 paiono nello studio dei fenomeni della fisica ereditaria. Tralasciando allora di occuparmi 

 della funzione U e della relativa equazione (13) o (14), studiai 1' unicità della funzione W 

 che deve verificare, entro S, I' equazione (7), ove p sia variabile con II'. /// questo cal- 

 colo mi sono limi/alo a considerare p come funzione lineare di W. La via che si 

 è tentata appartiene ai metodi di approssimazioni successive, ed è analoga a quella seguita 

 da Volterra pei' dimostrare 1' unicità della soluzione dell' equazione integro-differenziale che 

 si può considerare come tipo delle equazioni ellittiche alle derivate parziali (*) 



Le diverse condizioni però in cui si svolge il nostro calcolo, — vale a dire la non 

 linearità dell' equazione studiata, ed il fatto che gli integrali che vi compaiono sono a li- 

 miti fissi e non già variabili, — non permettono di giungere ad un risultato così netto 

 come quello a cui pervenne Volterra. L' unicità della soluzione è cioè dimostrata soltanto 

 a condizione che sia soddisfatta una certa diseguaglianza, la quale esprime in sostanza 

 una limitazione relativa ai coefficienti dell' espressione di p. 



Il calcolo è eseguito nel § 4°. Evidentemente esso si applica pure al caso classico, e 

 poiché non è privo d'interesse vedere come si specifichi il procedimento ed il risultato in 

 questo caso più semplice, cosi ho creduto opportuno far precedere, nel § 3°, la corrispon- 

 dente trattazione. Qui la condizione, alla quale 1' unicità risulta dimostrata, si riduce a sup- 

 porre che \p\ sia sufficientemente piccolo. Si noti del resto che una limitazione per p si 

 rende necessaria anche nella dimostrazione ordinaria, in quanto bisogna supporre 



1 + Axp > 0. 



E vero che il binomio I -\- 4xp {permeabilità magnetica) non diventa mai, prati- 

 camente, negativo ; ciò non toglie che dal punto di vista puramente matematico la dise- 

 guaglianza precedente sia una vera e propria condizione per p. 



Infine, nel caso di p indipendente da IL si riesce facilmente a calcolare W per ap- 

 prossimazioni successive, e ad assegnarne una rappresentazione mediante una serie di po- 

 tenze di p, la quale converge tutte le volte che \p\ soddisfa alla condizione sotto la quale 

 fu stabilita 1' unicità della soluzione. 



(*) Cfr. VOLTERRA: Lecons sur les éqiialions inlégrales ri intégrardiffèrentielles ; pag. 142 e segg. 



