Memoria XIII. 



Il discriminante e il numero delle radici imaginarie 

 di un'equazione algebrica a coefficienti reali, 



Nota del Prof, MICHELE CIPOLLA 



< h/ae ex Cartesio, quam Newionus insuper auxit, 

 Doctrinae en ! demuni fons et origo palent. 



SYLVESTER ') 



L. La regola dei segni di Cartesio e quella di Newton 2 ), che, com'è noto, danno 

 un limite superiore del numero delle radici reali di un' equazione 



(1) f{x) = 0, 



nella quale f{x) è una funzione razionale intera di x, a coefficienti reali, conducono im- 

 mediatamente alla determinazione di una successione di funzioni razionali intere dei coef- 

 ficienti dell' equazione, dai segni delle quali si può in ogni caso dedurre un limite supe- 

 riore delle dette radici. 



La questione analoga per la determinazione, sulla scorta del teorema di Sturivi, del 

 numero esatto delle radici stesse, non è invece di così facile risoluzione. 



Com' è noto, il numero delle variazioni che presenta la successione dei coefficienti 

 dei termini di massimo grado delle successive funzioni di Sturm, relative alla funzione 

 f(x), è uguale al numero delle coppie distinte delle radici imaginarie coniugate dell'equa- 

 zione 3 ). La questione viene così ricondotta alla determinazione dei coefficienti suddetti. 

 E tale determinazione, per una funzione f (x) generale di grado n, fu eseguita da Syl- 



M Questo distico fu pubblicato da J. J. SYLVESTER nei Proceedings of London Mathematical Society 

 dell'a. 1865, e trovasi riportato nella raccolta degli epigrammi latini del SYLVESTER, pubblicata far private 

 circulalion only dall' Athenaenm Club, Pali Mail, London nel 1896. Rendo in proposito sentite grazie al 

 ch.mo Prof. G. TORELLI della R. Università di Napoli, che gentilmente m' inviò un esemplare di questa rac- 

 colta. Il distico vi è preceduto da questa dichiarazione : Quum theorema Newtoni de radicibus imagìnarìis 

 equationum per longos annos non demonstratnin, demonstrassein : e porta la dedica : Urbi et orbi, ossia : 

 To Oxford and the World, come leggesi nella raccolta stessa nella traduzione in versi inglesi degli epi- 

 grammi. Circa la questione che diede origine al distico v. ì ). 



s ) I. NEWTON, Arithmeiica universalis, Cambridge a. 1707 ; nuova ed. Leyda a. 1732, p. 572. La pri- 

 ma dimostrazione della regola di NEWTON fu data da J. J. SYLVESTER, Transactions of the R. Irish Aca- 

 demy, t. 24, a. 1871. Cfr. H. WEBER, Lehrbuch der Algebra, z e Aufl., B. 1. Braunschweig a. 1898, p. 345. 



;f ) Per una dimostrazione non richiedente 1' ipotesi che le radici sian tutte semplici, si può consultare 

 ad es. : 



M. CIPOLLA, Analisi algebrica ed introduzione al Calcolo infinitesimale, Palermo, D. Capozzi,a. 1914, 

 p. 295. 



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