2 



Michele Cipolla 



[Memoria XIII. J 



vester 4 ), il quale trovò che i coefficienti in discorso non differiscono che per fattori po- 

 sitivi dai termini della successione 



(2) o, , V °» » • • • ' °« » 



essendo a = 1 e o h (0 < k < n) il minore principale contenuto nelle prime k righe del 

 discriminante A dell'equazione data: 



(3) 



*o 



S, Sj 



• • "5/1— 



s i 



S. S s 



• • s n 



5 5 



S 3 S 4 . 



■ ■ s n . 



espresso tale discriminante per mezzo delle somme s r delle potenze ;'"' ìe delle radici. 

 Pertanto : 



Il numero delle coppie delle radici imaginarie coniugate dell equazione è ti- 

 gnale al numero delle variazioni che presenta la successione dei minori princi- 

 pali (2) del discriminante dell' equazione , purché la successione non presenti ter- 

 mini NULLI 5 ). 



Quest' ultima condizione viene imposta dalla dimostrazione stessa cui si è fatto cen- 

 no, ed esclude in particolare che 1' equazione abbia radici multiple. 



2. Alla prop. enunciata si può anche pervenire in modo più elegante con un proce- 

 dimento indipendente dal teor. di Sturm, riportato nei trattati moderni 6 ). Esso è fondato 

 sulla legge d' inerzia delle forme quadratiche e sulla riduzione della forma quadratica col 

 discriminante (3) in forma canonica avente come coefficienti dei quadrati delle variabili 

 i rapporti 



°0 °i °« °n-l 



formati coi termini della successione (2). Ed anche così, è necessario supporre che questi 

 termini sian tutti diversi da zero. 



Il metodo però ha il vantaggio di mettere in rilievo il fatto che per la determina- 

 zione del numero delle coppie delle radici imaginarie coniugate dell' equazione 

 data può assumersi, in luogo della particolare successione (2) , un' altra qualsi- 

 voglia successione di minori principali del discriminante, degli ordini da ad 

 n, ciascuno contenuto nel successivo, purché tali minori sian tutti diversi da zero. 



4 ) J. J. Sylvester, Philosophical Magazine, a. 1839; Journ. des Mathem. pures et appliquées, a. 1862, 

 p. 368. Per la dimostrazione si può consultare : J. A. SERRET, Cours d'Algebre supèrieure, 4 e éd., t. I, p. 572. 



5 ) K. G. JACOBI (Werke, Berlin, t. 3, a. 1884, p. 471) ammette tacitamente questa condizione. 



6 ) C. W. BORCHARDT, Journ. des Math. pures et appliquées, a. 1847, p. 58. Cfr. E. CESÀRO, Analisi 

 algebrica, Torino, a. 1894, p. 408 — Come JACOBI 5 ) anche BORCHARDT, SERRET 4 ) e CESÀRO non fanno 

 alcun cenno del caso in cui si annulli qualcuno dei termini della successione. 



