// discriminante e il numero delle radici imaginarie di uri equazione ecc. 3 



L' ipotesi poi che 1' equazione data abbia radici tutte semplici può togliersi modifi- 

 cando leggermente la prop. enunciata al n. 1. Si dimostra in primo luogo con tutta faci- 

 lità che 7 ) : 



Se V equazione data ha p, e non più, radici distinte, allora sono nulli tutti 

 i minori principali del discriminante, aventi un ordine maggiore di p , e il mi- 

 nore principale o p , d' ordine p, è diverso da zero. 



E poi, con poche modificazioni all' uno o all' altro dei procedimenti su accennati, si 

 perviene al teor. s ) : 



Se nella successione (2) i termini sino al p-esimo sono tutti diversi da zero, 

 mentre sono nulli tutti i successivi, allora l' equazione ha p radici distinte, e tante 

 coppie distinte di radici imaginarie coniugate quante sono le variazioni che pre- 

 senta la successione slessa. 



3. II caso che la successione presenti termini nulli fra a t e z p non è preso in con- 

 siderazione nei trattati ; anzi taluni autori non lo pongono affatto in rilievo e lo ammet- 

 tono tacitamente 6 ). Eppure è facile assicurarsi della possibilità dei termini nulli, e rico- 

 noscere inoltre che la prop. in generale cade in difetto. 



Considerando infatti ad es. 1' equazione 



x 3 — 



1=0, il cui discriminante è 





3 























3 











3 









si ottiene 



°i = 3 , c 2 = , c 3 =z — 3 3 . 



Escludendo il termine nullo, questa successione presenta una variazione, e l'equazio- 

 ne ha una coppia di radici imaginarie coniugate, d' accordo col teor. Se però si considera 

 1' equazione x h — 1—0, il cui discriminante è 



5 



































5 















5 















5 















5 



















> 



°3 = 



= 



ì 



e la successione non presenta variazioni, mentre 1' equazione ha due coppie distinte di 

 radici imaginarie coniugate. 



Or è naturale domandarsi : 



Nel caso che i termini della successione (2) non siano tutti diversi da zero, 



1 • L. BAl'R. Math. Ann., t. 50, a. 1898, p. 241 : t. ^2. a. 1899, p. 113. 

 s ) M. CIPOLLA, I. C. :l ) p. 360. 



