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Michele Cipolla 



[Memoria XIII.] 



si può sempre dalla successione dei loro segni dedurre il numero delle coppie 

 distinte delle radici imaginarie coniugate dell' equazione ? 



La risposta, come vedremo, è affermativa, ma la prop. dev' essere modificata. Mo- 

 streremo infatti che se nella successione (2) si presentano termini nulli tra a t e o p (sup- 

 posto sempre che l' equazione abbia p radici distinte soltanto), si può asserire che il nu- 

 mero delle coppie distinte delle radici imaginarie coniugate dell' equazione eguaglia il nu- 

 mero delle variazioni che presenta la successione (dopo 1' esclusione dei termini nulli) al- 

 lora e soltanto quando non si presentino termini nulli consecutivi. 



Noi qui daremo del teorema generale una dimostrazione affatto indipendente dal teo- 

 rema di Sturm, come anche dalla teoria delle forme quadratiche ; essa è fondata sulla 

 teoria dei determinanti simmetrici e su considerazioni di continuità. 



Il risultato generale è però deducibile dalle ulteriori ricerche di F'robenius 9 ) sulla 

 legge d' inerzia delle forme quadratiche a discriminante ortosimmetrico (cioè con l' ele- 

 mento generico a rs dipendente dalla somma r -f- 5 degl' indici). Tuttavia, per il procedi- 

 mento diretto e la maggiore semplicità dei mezzi che abbiamo adoperato, non ci sembra 

 superflua la presente trattazione, la quale serve a dare un assetto organico , definitivo 

 all' argomento. 



All' uopo occorrono talune proposizioni generali sui determinanti simmetrici , che ge- 

 neralmente son trascurate nei trattati. 



Per maggiore chiarezza, e perchè le proprietà in discorso si riconnettono a varie in- 

 teressanti questioni di Algebra, esse con gli opportuni completamenti saranno qui raccolte 

 in un' esposizione sistematica preliminare. 



I. Proposizioni preliminari 

 sui determinanti simmetrici ed ortosi ni metrici. 



4. A fondamento delle proprietà dei determinanti simmetrici , che qui ci occorrono, 

 porremo la seguente proposizione di Sylvester 10 ) : 



'1 — Se A è un determinante d' ordine n, ed A, //// suo minore non nullo 

 d' ordine r , ad es. : 



(4) A — \ a n u ii ■■■ . A;—\ a lt a l2 ... a u . 



« 21 a 2 , . . . a-i,. 



(fri <* ri ■ ■ ■ <*rr 



9 ) G. FROBENIUS. Sitzungsberichte der k. Preuss. Akad. der Wiss. zu Berlin, a. 1894, pp. 241-256, 

 407-431. 



10 ) J. J. Sylvester, Phiiosophical Magazine, s. 4, t. .1, a. 1851, p. 297, t. 2, p. 124. 



La prop. che diede il Sylvester senza dimostrazione, è più generale, e fu argomento di vari lavori. 

 Per il caso particolare qui richiamato si può consultare G- FROBENIUS, Journ. reine u. angew. Math., t. 86, 

 a. 1S79, p. 53; m. Cipolla, 1. c. 3 ), p. 102. 



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