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Michele Cipolla 



[Memoria XIII.] 



mi, gli altri intermedi. Il numero dei termini intermedi si dirà V ordine della catena. 



Se gli estremi sono diversi da zero la catena parziale si dirà tratto. Per tratfo nullo 

 intenderemo un tratto i cui termini intermedi sono tutti nulli. 



Noi ci occuperemo esclusivamente di catene di minori principali del determinante sim- 

 metrico A, e in particolare della catena 



(7) 



A, 



A, 



Una prima importante conseguenza del teor. 4'1 è la seguente: 

 1 — Se in una catena di minori principali di un determinante simmetrico 

 si annulla un termine fra due diversi da zero, questi hanno segno contrario. 

 Infatti, se A,.+ x = 0, e A r , A rt2 sono diversi da zero, poiché (4.1) 



A. 



A,, 



A r A, 



e inoltre A n = A r +i , A 2l — A i2 , si deduce 



A,. A,. t2 = - A l2 



Ed ancora, essendo (4 '2) 



/Coti 



l k 9 k 9 



Ar A kikz iikì f 



se 4è t *, = e A hhhkì = , risulta 4*^ = , quindi u ): 



"2 — Se in mi determinante simmetrico sono nulli tutti i minori principali 

 d'ordine r — j — 1 , r — |— 2, orlati di un minore principale non nullo d'ordine r, il de- 

 terminante è nullo, ed ha la caratteristica r. 



Se ne deducono varie conseguenze : 



'3 — Se in un determinante simmetrico sono nulli tutti i minori principali 

 d' ordine r — j— 1 , r -f- 2, il determinante è nullo (e la sua caratteristica è minore o 

 eguale ad r). 



La prop. si dimostra subito se r -— 0, perchè, essendo nulli tutti gli elementi princi- 

 pali e i minori principali del second' ordine, risultano nulli tutti gli elementi del determinante. 

 Si ammetta allora la prop. per r minore di k, e siano nulli tutti i minori principali d'ordine 

 k -j- 1 , k-\-2. Allora, se esiste un minore principale d'ordine k, diverso da zero, il de- 

 terminante ha (*2) la caratteristica k; altrimenti esso, avendo nulli tutti i minori principali 

 d'ordine k e k -f- 1, ha la caratteristica minore di k. 



Pertanto : 



'4 — Se un determinante simmetrico ha la caratteristica p, fra i suoi minori 

 principali d' ordine p ce n è uno almeno diverso da sero. 



") S. GUNDELFINGER. Journ. reine u. angew Math. t. 91, a. 1881, p. 221. 



