// discriminante e il numero delle radici imaginarie di un' equazione ecc. 7 



Questa prop. si può anche dedurre dalla proprietà 12 ) che se un determinante nullo A 

 ha la caratteristica p , denotando con X< una combinazione qualunque a p a p degl' in- 

 dici 1, 2 , ... , 11 , il determinante 



A hl, ■ ■ ■ \\ r 



A 2 \ A 2 x 2 • • • A 2 i r 

 A\ r \ A\ r i^ ■ . . A\ r \ r 



essendo /'=(/'), ha la caratteristica eguale a L. Nel nostro caso questo determinante è 

 simmetrico, e dall'annullarsi dei suoi minori principali del second'ordine si deduce che gli 

 elementi principali non possono -essere tutti nulli. Inoltre il prodotto di due elementi prin- 

 cipali diversi da zero è positivo (poiché gli elementi di A si suppongono reali). Quindi: 



"5 — Se un determinante simmetrico ad elementi reali ha la caratteristica p, 

 / suoi minori principali {itoti nulli) d' ordine p han tutti lo stesso segno. 



Un tratto di minori principali di un determinante simmetrico si dirà normale se non 

 ha termini nulli consecutivi. 



Per conseguenza un tratto d' ordine o 1 è sempre normale. 



6 — Utt tratto non normale può sempre normalizzarsi, cioè possono i termini 

 nulli di esso sostituirsi con altri minori principali dello stess ordine così che il 

 nuovo tratto risulti normale. 



Sia infatti 



A r , Ar+l , ■ ■ • , A,-+k , A r +k+\ 



un tratto non normale d'ordine li (e però K>1). Basta dimostrare la prop. nell'ipotesi che 

 il tratto stesso sia nullo. Ed infatti, in tal caso o esiste un minore principale A' r +i , d'or- 

 dine r 4"' U orlato di A r in A r +k+i , che sia diverso da zero, e allora il tratto A r , A' r +i è 

 normale, oppure sono nulli tutti gli orlati d' ordine r -j- 1 di A r in A r +k+i . Ma in que- 

 sto caso, dovendo esistere un minore principale ^4V+2 d' ordine r -f- 2 orlato di A r e con- 

 tenuto in A r +k+\ , è normale il tratto A,., A" r +i, A', +2, dove A" r +i è uno qualsivoglia 

 dei due minori (nulli) d' ordine r -j- l, orlati di A,, e contenuti in A'r+%. Così continuando 

 si otterrà un tratto normale tra A r e A r +h+i ■ 



6. Possiamo ora dare una dimostrazione diretta della proprietà che per qualsivoglia 

 catena normale di minori principali di un determinante simmetrico non nullo, è costante 

 il numero delle variazioni che la catena presenta (dopo la soppressione dei termini nulli) ; 

 proprietà che suole dedursi da particolari procedimenti di riduzione a forma canonica di 

 una quadrica e dalla legge d' inerzia. 



Premettiamo la prop. : 



'L — Da una catena {parziale no) si può passare ad un'altra qualunque 

 cogli stessi estremi mediante successive catene cogli stessi estremi, ciascuna noti 

 differendo dalla precedente che per un termine solo. 



li ) Cfr. M. Ci POLI A, I. c. :i ) p. 100. 104. 



