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Michele Cipolla 



[Memoria XIII.) 



La prop. è vera per una catena d'ordine 1. Ammettiamola per una catena d'ordine k, 

 e consideriamo una catena d'ordine /fe — | — 1 , di cui A,., A r +k+2 siano gli estremi. Deno- 

 tando per semplicità con (s l s t , ... , s t ) il minore principale di A , d'ordine r -f- /', or- 

 lato di A r mediante le righe e le colonne d'indici s t , s t ,...s it siano 



(8) A r , (sj , (S t 5 2 ) , ... , (S t 5, ; .. SfcSfc+l), , 



(9) 4,., (/,) , (h /,),... , (/,/,... /» ^+* +a 

 le due catene. 



Se ? t — Sj , basterà applicare la prop. alle due catene d' ordine k, ottenute da (8) e 

 (9) escludendo in ciascuna il primo termine. Altrimenti, si consideri il primo termine della 

 (8) che contiene l'indice l l ; (nella peggiore ipotesi questo termine sarà J. r+ft+2 ). Se 

 {s l 5 2 ... s p /j) è questo termine, al suo precedente (s, s 2 ... s p _i s p ) potremo sostituire il 

 minore principale (s, s 2 .... s p _i i L ) ottenendo cosi una catena. Per analoga ragione nella 

 nuova catena potremo sostituire al termine (si 5 2 . . . s /( _ 2 s„_i) che precede l' ultimo con- 

 siderato, il minore (s l s^ ... s p _ 2 /J; e così continuando otterremo una catena il cui primo 

 termine intermedio è (/J. In tal modo si è ricondotti al primo caso. 



*2 — Ad un tratto nullo non normale se ne può sempre sostituire un altro fra 

 gli stessi estremi tale che dei suoi termini intermedi uno solo sia diverso da sero. 



Infatti, per la prop. precedente e la 5 '6, si può passare del tratto dato ad un tratto 

 normale fra gli stessi estremi cambiando successivamente un solo elemento : il primo 

 tratto non nullo che si ottiene in questo, ha soltanto un termine intermedio che sia di- 

 verso da zero. 



Ciò posto, si ha la prop. fondamentale : 



- 3 — Il numero delle variazioni che presenta un tratto normale {dopo la 

 soppressione dei termini nulli), non mula se si cambiano i termini intermedi così 

 da ottenere un altro tratto normale cogli stessi estremi. 



Sia 



(,10) A k , Ah f i , . . . , A,, , A r +i , A,.+2 , • • • , A s _ l , A s 



un tratto normale, almeno del prim' ordine, e 



(11) 4», A' k+l , . . . , A' r , A'r+i , A' r42 , • ■ • , A' s .-i , A, 



un altro tratto normale cogli stessi estremi del primo. 



Dimostriamo il teor. supponendo dapprima che tutti i minori principali orlati di A h , 

 di tutti gli ordini, contenuti in A s , siano diversi da zero. 



Poiché si può passare dal tratto (10) al tratto (11) per il successivo cambiamento di 

 un solo termine, basterà dimostrare che il numero delle variazioni del tratto (10) non muta 

 cambiando un sol termine, per es. A r +i • Ed infatti, denotando con A' r+Ì V altro minore 

 principale d' ordine A r+l oliato di A r contenuto in A r+2 , si ha (n. 5) : 



= A,. A r ±i , 



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