// discriminante e il numero delle radici imaginarie di un equazione ecc. 9 



ossia 



A r +\ A'r+i = Au -\- A r A,+2 , 



e se ne deduce che se A r e A r +2 hanno lo stesso segno, così può dirsi di A r +i e A' r +i t 

 e però i due tratti 



A r , A,+ l , A r +Ì , A,. , A r+l , Ar+2 



presentano nel contempo due variazioni o nessuna secondo che il segno di A r è contrario 



eguale a quello comune ad A r +\ e A' r +i ■ 



Se poi A r e A r +2 hanno segno contrario, ciascuno dei due tratti considerati presenta 

 una sola variazione, qualunque sia il segno del termine intermedio. 



Pertanto, se tutti gli orlati principali di A K contenuti in A s sono diversi da zero, il 

 teor. è dimostrato. 



Passando al caso generale, aggiungiamo agli elementi principali di A s una variabile X 



e sia 



(12) B h , Bk+i , • ■ • , B,. , B,+i , B,+ì , . . . , B s -i , B s 

 il tratto corrispondente al (10), e 



(13) B k , B , ... , B r , B ,+i , B' ri 2 , ■ ■■ > B s -\ , B s 



il tratto corrispondente all'altro. 



Un termine qualunque di (12) è una funzione razionale intera di X, evidentemente 

 non identica a zero, che assume, per il valore zero di X, il valore del corrispondente ter- 

 mine del tratto (10). Pertanto esiste un intorno a destra di in ogni punto interno al 

 quale sono diversi da zero B k , B s e tutti i minori principali orlati di B k , contenuti in B s , 

 e noi supponiamo che X cada dentro il detto intorno. 



Poiché il tratto (10) è normale, esso è formato da tratti consecutivi di due termini, 

 oppure di tre di cui 1' intermedio è nullo. 



Se A,., A r +i sono due termini diversi da zero del (10), i corrispondenti termini B r , 

 B r+ i del (12), avendo segni rispettivamente eguali a quelli di A,., A r +i, presentano varia- 

 zione o permanenza secondo che si ha variazione o permanenza tra A,, e A r +\ . 



Se invece A r +i =0, allora A r e A rJtì hanno segno contrario (5*1) e lo stesso si può 

 dire di B r e B,. rì , cosicché il tratto B r , B,-+i, B r +2 presenta una variazione come il tratto 

 A r , A r +\ , A r +% . 



Per conseguenza il tratto (12) presenta lo stesso numero di variazioni del (10). Ana- 

 logamente il tratto (13) presenta lo stesso numero di variazioni del tratto (11), e poiché 



1 due tratti (12) e (13), per la prima parte della dimostrazione, presentano egual numero 

 di variazioni, lo stesso si può dire dei tratti (10) e (11). 



Chiameremo numero di variazioni corrispondente ad un tratto il numero delle va- 

 riazioni che presenta un tratto normale qualsivoglia, cogli stessi estremi del primo. 



Dato un determinante simmetrico di caratteristica p, una catena di minori principali 

 di esso, di tutti gli ordini da a p, nella quale il minore d'ordine p è diverso da zero, 

 si dirà una catena caratteristica. 



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