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Michele C/polla 



[Memoria XIII.] 



•4 — 77 numero di variazioni corrispondente ad una catena caratteristica 

 di minori principali di un determinante simmetrico A, è costante, qualunque sia 

 la catena caratteristica. 



Consideriamo infatti due catene complete di minori principali di A : 



A , A i , ... , A /t , Ap-\-\ , . . . , An—i , A , 



(14) A , B,, ... , B r , Bp+i, ... , Bn-i, A , 



ciascuna delle quali contenga un minore d' ordine p, diverso da zero. 



Aggiunta agli elementi principali di A una variabibile A possiamo determinare un in- 

 torno a destra di 0, dentro il quale non si annulli nessuno dei minori principali del nuovo 

 determinante. Assunto A dentro il detto intorno, denotiamo con A',. , B' ,. i valori dei mi- 

 nori corrispondenti ad A,., B,. In virtù della prop. precedente, le due catene 



A o , A , , ... , A p , Ap+i , . . . , A'n—i , A' , 



(15) A' , B\, ... , B' p , B' p+ r, ... , 5'n-i, A 



presentano lo stesso numero di variazioni. Ma è facile riconoscere che il tratto da A' p ad 

 A della prima catena e il corrispondente della seconda non presentano variazioni. In- 

 fatti, si ha 



A' p+S = LP+ S -f S, lv+ 3 - 1 + S 3 lP+ s ~z -f -f Sp_i a»+i -f Spi" , 



dove S r denota la somma dei minori principali d' ordine r di A pMs , e se ne deduce che 

 Ap+ S , non annullandosi nell' intorno considerato, ha in esso il segno di S p ossia quello 

 di A p , poiché (4*5) i minori principali d'ordine p (non nulli) di A han tutti lo stesso segno. 



Per conseguenza i due tratti formati coi primi p -(- 1 termini delle (15) presentano 

 lo stesso numero di variazioni, e questo è il numero di variazioni corrispondente alle due 

 catene caratteristiche contenute nelle (14). 



'5 -■ Ad un tratto nullo d' ordine 2 corrispondono due variazioni se gli estre- 

 mi sono dello stesso segno, una sola se gli estremi sono di segno contrario. 



Chiamando segno (in senso lato) di un numero l' unità positiva, negativa o lo zero 

 secondo che il numero e positivo, [negativo o nullo, e denotando con e, yj i segni degli 

 estremi del tratto, questo presenta la successione dei segni 



3, 0, 0, 7j. 



E poiché esiste un tratto fra gli stessi estremi del dato, che ha un sol termine in- 

 termedio diverso da zero (6"2), tale tratto non può presentare che 1' una o l'altra succes- 

 sione di segni (4" 1) : 



0,rj, e , , — e , V] . 



In entrambi i casi, se s = Vj si hanno due variazioni, se e = — rj si ha una varia- 

 zione sola. 



Osservazione. — Se si tenta di estendere la dimostrazione della prop. precedente 

 al caso di un tratto nullo d' ordine 3, si trova che se i termini estremi hanno lo stesso 

 segno, il tratto normalizzato presenta due variazioni, mentre se gli estremi sono di segno 

 contrario, il tratto normalizzato può presentare o una o tre variazioni. 



