// discriminante e il numero delle radici imaginarie di un'equazione ecc. 



19 



Difatti, se p, e non più, dei numeri (28) sono distinti, ogni combinazione a k a k 

 di essi, se k > p, contiene elementi eguali, quindi sono nulli i termini della somma (30), 

 e si ha o ; . = 0. 



Invece, se k = p, si annullano i termini della detta somma ad eccezione di quelli 

 che contengono i p numeri distinti, e poiché questi altri termini han tutti lo stesso va- 

 lore, si ha a p =|= 0. 



La prop. inversa n' è una conseguenza evidente. 



Si riconosce poi, in modo analogo, che il determinante (29) ha la caratteristica p, e 

 per conseguenza (5'5) i minori principali d' ordine p, diversi da zero, han tutti lo stesso 

 segno. Sotto forma più generale : 



•2 — Se V equazione (27) ammette p radici distinte soltanto, il determinante 

 d ordine m maggiore di p : 



S 



Si 



s t . . 



S m —\ 



*i 



S Q 



s 3 . . . 



s m 



S 2 



s 3 



5 4 . . 



S,n + l 



S/n — 



1 S m 



S m -j.i ■ 





anche se m > n, ha la caratteristica p, e i suoi minori principali d' ordine p, di- 

 versi da zero, han tutti lo stesso segno. 



Circa il significato di questo segno si ha la prop. : 



"3 — Se p è la caratteristica del discriminante dell' equazione, risulta o p po- 

 sitivo o negativo secondo che il numero delle coppie distinte delle radici imagi- 

 narie coniugate dell' equazione è pari o dispari. 



Infatti, se 



sono le radici distinte dell'equazione, dalla dimostrazione del teor. "1 risulta che o p è 

 uguale a un certo numero di volte il quadrato del determinante di VandeRxMonde : 



1 



1 



1 



1 



x i 



x% 



x 3 



■ x p 



1 



X 



X 



% 



X 2 



2 



2 



X 

 P 



*1 



p-i 

 A 2 



p-1 



x 3 



p-1 



. X 



p 



Il cambiamento di i in — i muta una radice imaginaria nella sua coniugata, e però 

 equivale a tante trasposizioni sulle colonne del determinante quante sono le coppie (di- 

 stinte) delle radici imaginarie coniugate. Se il numero q di queste coppie è pari, il deter- 

 minante non cambia di valore, e il suo quadrato (e però o p ) è positivo. Invece, se q è 

 dispari, il determinante cambia di segno, quindi esso è uguale ad un imaginario puro, e 

 il suo quadrato è negativo. 



