77 discriminante e il ninnerò delle radici imaginarie di mi equazione ecc. 21 



la regola 7*8, dalla successione dei segni di una catena caratteristica qualsivoglia 

 di minori principali del discriminante ; e in particolare dalla successione dei se- 

 gni del tratto 



essendo a,, /'/ minore principale d' ordine r contenuto nelle prime r righe del di- 

 scriminante, e o p quello d'indice più alto, che ha un valore diverso da zero. 



La prop. è vera manifestamente se 1' equazione non ammette radici imaginarie, per- 

 chè allora la successione (32), avendo i termini tutti positivi, non presenta variazioni. 



Ammettiamo dunque che la prop. sia vera per le equazioni che ammettono q — 1 

 coppie distinte di radici imaginarie coniugate e dimostriamola per un' equazione che ne 

 ammette q. 



Possiamo Supporre che una di queste coppie sia formata da numeri imaginari puri, 

 perchè in caso contrario, se una radice imaginaria dell' equazione è a -j- ih, considerando 

 1' equazione le cui radici sono quelle della data dimininuite di a : 



x.—a f x, — «, ... , x n — a , 



i termini della catena (32), in virtù della forinola (31), non cambiano di valore, il nu- 

 mero delle coppie delle radici imaginarie coniugate resta q, e una coppia risulta costituita 

 dai numeri imaginari puri ib, — ih. 



Supponiamo dunque che fra le p radici distinte x i , .v 2 , ... , x p dell'equazione siano: 



-i = ib , 



x p — — ib 



Due casi dobbiamo considerare: secondo che fra le rimanenti radici x lf x 2 , ... , x p _i 

 ci siano o no numeri opposti : 



a) Se fra le dette radici non ci sono numeri opposti, consideriamo l'equazione che am- 

 mette come radici i quadrati delle radici della data. Tale equazione ha p — 1 radici distinte: 



x 



p-2 , 



e soltanto q — 1 coppie distinte di radici imaginarie coniugate. 

 La catena corrispondente alia (32) per la nuova equazione è 



(33) 

 essendo 



p-2 » 



' p-1 , 



So 



s 2 



s 4 



S'lk—2 



S 2 





s 6 . . 



■ S n 



s 4 





s 8 . . 



Sllk+2 



S 2k -2 



•Sa/; 



$211+2 • • 



•S4/C-4 



e il numero di variazioni corrispondente alla catena stessa è uguale , per ipotesi , al nu- 

 mero q — 1 delle coppie distinte delle radici imaginarie coniugate dell'equazione. Inoltre è ('3) 

 {34) segno di o'_, = (— . 



