22 



Michele Cipolla 



[Memoria XIII.] 



Ora il tratto (33) fa parte di una catena di minori principali del determinante 



So 



5 1 



5 2 . . 



S 2ll—l 







5 3 . . 



s 2n 



5 2 



s 3 



s 4 . . 





5 2/(-l 





s 2nil ■ ■ 



Sin— 2 



che ha ('2) la caratteristica p. Ne segue che non possono essere nulli tutti i minori prin- 

 cipali d' ordine p, orlati di d p -\ in questo determinante, perchè altrimenti, siccome sono 

 nulli tutti i minori principali d'ordine p-\-l, il determinante avrebbe la caratteristica p — 1. 



Sia dunque <s' p un minore principale d' ordine p orlato di d p -\ , diverso da zero. Il 

 segno di o' p è uguale a quello di a p , quindi ('2): 



(35) segno di <s' p = (— 1)« . 



Ora la successione 



(36) 



'p-i 



è una catena caratteristica del determinante considerato, inoltre al tratto da a' t a a' p _ x cor- 

 rispondono, come si è detto, q — 1 variazioni, e risulta da (34) e (35) che si ha una va- 

 riazione tra o'p-x e o' p , quindi alla catena cori'ispondono q variazioni. Ma anche la (33) 

 è una catena caratteristica dello stesso determinante, quindi ad essa corrispondono pure q 

 variazioni, quante sono appunto le coppie distinte delle radici imaginarie coniugate del- 

 l' equazione. 



b) Resta a considerare il caso che tra le radici distinte x i , x 2 , 

 data equazione ci siano numeri opposti. 



Consideriamo in tal caso una catena caratteristica normale 



(37) 



x,,_ % della 



del discriminante, e fra le dette radici \\ , x 2 , 



a l ± ib i , <7 2 zt ib 2 , 



le coppie delle imaginarie coniugate, e 



1 p— 2 



siano 



fi,, ± ib, 



(r = q-2) 



le radici reali (2r-\-s = p — 2). Diamo alle parti reali a t , a 2 , a r delle prime gl'in- 

 crementi (reali) h i , h % , . . . , //,. , e alle radici reali gl'incrementi k { , # 2 , . . ., k s : 



(38) 



(a l -\-h i )±tb ì , (a 2 ±h t )±ib s , ... , (a r -j- h r )±ib r ; 

 + , a t + K , • • • , «a + k s ; 



e consideriamo la catena corrispondente alla (37) del nuovo discriminante : 

 (39) t' , t' t' . . . , x' D . 



