77 discriminante e il numero delle radici imaginarie di uri equazione ecc. 



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Poiché x'j, è una funzione continua degl' incrementi e k h che assume il valore x h 

 quando i detti incrementi assumono il valore zero, possiamo supporre che gì' incrementi 

 stessi variino in tali intorni di zero in cui nessun termine della (39) possa mutare di se- 

 gno. Scelti poi gì' incrementi nei detti dintorni in maniera che fra i numeri (38) non vi 

 siano numeri opposti, la successione (39) per il caso a) presenterà q variazioni. E lo 

 stesso si potrà dire della (37), perchè se un termine x h è diverso da zero, esso ha lo 

 stesso segno di x h , e se invece è nullo, t /{ _i e x k i _ x sono di segno contrario e al tratto 

 t A _! ... t ft+ i corrisponderà una variazione come al tratto t',,_! ... t'^^i . 



Il teorema è così dimostrato in generale. 



10. Termineremo mostrando come, supposta stabilita la prop. (per es. con uno dei 

 metodi indicati nei nn. 1 e 2) nell'ipotesi che i termini della successione (37) siano tutti 

 diversi da zero, possa completarsi la dimostrazione, togliendo tale restrizione. 



Basterà supporre che la (37) sia una catena caratteristica normale e dimostrare che 

 il numero delle variazioni che essa presenta è uguale al numero delle coppie distinte delle 

 radici imaginarie coniugate dell' equazione. 



Siano queste coppie 



a l ± ib i , a 2 ± ib 2 , . . . , a q ± ib q , 



e 



le radici reali. Diamo alle parti reali a i , a 2 , . . . , a,, delle prime gì' incrementi (reali ed 

 arbitrari) 1i l , h 2 , . . . , h q , ai coefficienti b l , b 2 , . . . , b q delle parti imaginarie gì' incre- 

 menti k l7 k 2 , . . . , k q e alle radici reali gl'incrementi /, , l 2 , . . . , /., . Siano poi 



(40) t' , x\, x' 2 , ... , x' p 



le espressioni che di conseguenza assumono i termini della (37). 



Ciascun termine di quest' ultima successione è una funzione razionale intera degli 

 incrementi //, , k, , l t , che non può essere identicamente nulla (8'4) , quindi si possono 

 assumere gl'incrementi in tali intorni a destra di zero dentro i quali ciascun termine della 

 successione (40) non sia mai nullo e però abbia segno costante. 



Ed allora, se t /£ è diverso da zero, x' h ha lo stesso segno di x ft ; se invece x h = 0, 

 il tratto x' ìi _ l ... t',. iA presenta una variazione come il tratto t /; ._, ... t,, +1 . Pertanto la ca- 

 tena (37) presenta lo stesso numero di variazioni della (40), e poiché questa, avendo i 

 termini tutti diversi da zero, presenta tante variazioni quante sono le coppie delle radici 

 imaginarie coniugate dell' equazione, si può concludere che anche alla catena (37) corri- 

 spondono tante variazioni quante sono le coppie in parola. 



Catania, febbraio 1917. 



