Memoria XVI. 



Sulla quartica di Klein e la quintica di Snyder 

 Nota del Prof. GAETANO SCORZA 



Alla varietà jacobiana di una qualsiasi curva algebrica (non razionale) — o alla curva 

 stessa — sono collegati, come ad ogni altra varietà abeliana, due caratteri fondamentali, 

 gli indici di singolarità e di moltiplicabilità (*). Ove siano aumentati di 1, essi coin- 

 cidono coi numeri-base delle corrispondenze algebriche simmetriche ( 2 ) o di tutte le cor- 

 rispondenze algebriche appartenenti alla curva, e se p è il genere della curva i valori 

 massimi di cui essi sono suscettibili sono rispettivamente p % — 1 e 2p 2 — 1. Inoltre, se 

 codesti valori massimi, ove siano raggiunti, sono raggiunti dai due indici contem- 

 poraneamente ( 3 ). 



Ora io ho dimostrata l' esistenza di varietà abeliane con indici massimi per ogni va- 

 lore della dimensione della varietà, e le ho anche pienamente caratterizzate ( 4 ) ; ma poiché 

 la varietà jacobiana legata ad una curva di genere p è, per p > 1, una varietà abeliana 

 particolare, resta dubbio se per ogni valore di p esistano curve di genere p con indici 

 massimi ( B ). 



Lo stesso dubbio si potrebbe naturalmente affacciare per tutti i teoremi di natura esi- 

 stenziale riflettenti le varietà abeliane, qualora si volesse trasportarli senz'altro alle varietà 

 jacobiane. 



Così, per es., io ho pure dimostrata 1' esistenza di varietà abeliane impure di dimen- 

 sione pari, prive di sistemi regolari isolati di integrali riducibili, coi sistemi regolari puri 

 tutti di dimensione 1, e le ho classificate in quattro tipi fondamentali ( 6 ); ma ciò non 

 autorizza a concludere che, corrispondentemente ad ognuno di questi tipi, esistano delle 

 varietà che siano addirittura jacobiane. 



Indipendentemente da queste osservazioni, data la scarsezza delle conoscenze che per 

 ora si hanno sui numeri-base in discorso, è interessante moltiplicare gli esempi di curve 

 per le quali gli indici di singolarità e moltiplicabilità possano essere esplicitamente asse- 

 gnati e indicare dei metodi che, nei singoli casi concreti, possano essere utilmente ado- 

 perati per il calcolo effettivo degli indici stessi. 



(') Per la definizione di questi caratteri vedi la mia Memoria : Intorno alla teoria generate delle ma- 

 trici di RlEMANN e ad alarne sue applicazioni [Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, t. XLI (1916), 

 pp. 263-380]. 



( 2 ) Che 1' indice di singolarità di una curva algebrica aumentato di 1 eguagli il numero-base delle corri- 

 spondenze algebriche simmetriche situate su di essa è conseguenza di note e belle ricerche del sig. ROSATI. 

 Vedi la sua Memoria: Suite corrispondenze fra i punii dì una curva algebrica e in particolare fra i punii 

 di una curva di genere due [Annali di Matematica pura ed applicata, serie s a , voi. XXV (1915). pp. 1-32]. 



(') Loc. cit. f ), Parte Prima, n. 58. 



( 4 ) Loc. cit. l ), Parte Prima, n. 54 e 58. 



( : ') Veramente, e per ragioni tutte note, il dubbio non è giustificato se non quando sia /> ^> 3. 

 ('') Loc. cit. Parte Prima, n. 55. 



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