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Gaetano Scorsa 



Memoria XVI.] 



Tra le infinite curve di genere 3 per le quali gli indici di singolarità e moltiplicabi- 

 lità raggiungono i valori massimi 8 e 17 ho avuto occasione di far rilevare che è com- 

 presa la così detta qnartica di Klein ; e questa circostanza l' ho dedotta, applicando teo- 

 remi generali sulle matrici riemanniane, dal fatto, osservato prima da Poincaré e poi dallo 

 Hurwitz, che la curva possiede terne di integrali ellittici indipendenti a moltiplicazione 

 complessa e vincolati ( 7 ). 



Qui voglio far vedere come quella circostanza e questo fatto possano dedursi con 

 estrema semplicità partendo dalla considerazione delle trasformazioni collineari in sè, a 

 periodo 7, ammesse dalla curva; e per mostrare con un altro esempio la fecondità del 

 procedimento lo applico anche alla determinazione degli indici della quintica di Snyder, 

 cioè della quintica di genere 6 che è rappresentata in coordinate cartesiane dall' equazione 



^ v+ y 4 + x = , 



e che ammette un gruppo di trasformazioni collineari in sè, d' ordine 39, generato da due 

 collineazioni cicliche, l' una a periodo 13 e 1' altra a periodo 3 ( s ). 



Gli indici di questa quintica sono rispettivamente 17 e 35; e la sua jacobiana dà 

 appunto un esempio di varietà jacobiana di dimensione 6 (cioè, pari), impura, priva di 

 sistemi regolari isolati di integrali riducibili, e coi sistemi regolari puri tutti di dimensione 1. 



§ 1. 



1. Consideriamo la quartica di Klein C\ rappresentata in coordinate cartesiane dal- 

 l' equazione 



1 ) x % y -f- y 3 -f- x — 0. 



Tre suoi integrali indipendenti di l a specie sono dati evidentemente da: 



i dx ì xdx I ydx 



— J 3y-f- x 3 ' 2 — 1 3y 2 +.r 3 ' J ' 



Adesso si consideri la matrice riemanniana costituita da sei sistemi di periodi primi- 

 tivi degli integrali u t , u 2 , u 3 , e sia in un S 4 (x y 3 t'): 



x — x (u, , v 2 , v 3 ) 



y = y {v t , V t , V 3 ) 



2 — 8 (V i , V 2 , V 3 ) 



C) Loc. cit. '), Parte Prima, n. 59, nota a piè di pagina. 



( 3 ) Per questa interessante quintica vedi : V. SNYDER, Piane Quintic Curves Whìch Possess a Group 

 of Linear Transformations [American Journal of Mathematics, voi. XXX (1908), pp. 1-9], ed E. CIANI, Le 

 quintìche piane autoproiettive [Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, t. XXXVI (2 sem. 1913), 

 pp. 58-78]. Appunto perchè lo SNYDER è stato il primo a richiamar 1' attenzione sul gruppo da essa posse- 

 duto, mi son permesso di indicarla col nome di quintica di SNYDER. 



