Sulla guai fica di Klein e la quintica di Snyder 



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la rappresentazione parametrica, per funzioni abeliane dei parametri z\, v 2 , v a , di una va- 

 rietà abeliana V appartenente a codesta matrice. 



La V può riguardarsi come la varietà jacobiana di C 4 , e si ha una corrispondenza 

 biunivoca T fra le serie lineari g 3 (di dimensione o 1) di C e i punti di V facendo 

 corrispondere alla g 3 determinata da un gruppo G 3 di tre punti di C 4 il punto di V, per cui 

 il parametro V; ha come valore la somma dei valori dell' integrale nei punti di G 3 . 



Ciò posto, si osservi che, detta a una radice primitiva settima dell'unità', la trasfor- 

 mazione collineare (affine) a periodo 7 : 



x = a 3 X 



2) 



y — a Y 



muta in sè la curva C 4 tenendone fermi i tre punti che coincidono con l'origine delle 

 coordinate e coi punti all' infinito degli assi x e y ( 9 ). Se quindi si suppone che 1' origine 

 dalla quale si fanno partire i cammini ( indipendenti da j ) lungo i quali si calcolano gli 

 integrali u } sìa uno di questi tre punti, e si dicono Uj e Uj i valori dell' integrale in 

 due punti di C 4 omologhi nella collineazione 2), si può supporre ( 10 ) : 



3) u i = aU l , h^ — ^Uì , u. J = a ì U 3 . 



Ma allora la trasformazione birazionale della varietà V in sè stessa in cui si riflette, 

 a traverso T , la trasformazione birazionale in sè della C subordinata dall' affinità 2) è 

 quella che è rappresentata dalla sostituzione lineare 



4) v l = %V L , ih ~ a 4 V% , v. } = a 2 V 3 



sui parametri v t , i> 2 e v. d . 



Segue che le radici dell' equazione caratteristica della sostituzione riemanniana 

 modulare di V rispondente alla sua trasformazione birazionale rappresentata dalle 4) sono 

 tutte semplici ( n ) e che 'quindi la matrice di Riemann cui appartiene V, cioè la matrice 

 di Riemann cui è collegata C 4 , è isomorfa alla seguente matrice di genere 3 ( 12 ) : 



1 et a 2 a 3 a 4 a b 

 1 a 4 a a 6 a 2 « c 

 1 a 2 a 4 u 6 a a 3 



( : ') L' involuzione d' ordine 7 generata su C A dalla trasformazione che su di essa induce I' affinità 2) ha 

 dunque tre gruppi ridotti ciascuno a un punto settuplo, e all' infuori di questi non ha altri punti multipli. 

 Segue, per la formula di ZEUTHEN, che essa è una . 



( 10 ) Occorre appena avvertire che perchè sussistano le 3) bisogna scegliere opportunamente il valore di 

 Uj dopo che sia stato fissato quello di uj . Volendo, anzi che delle uguaglianze, si potrebbero scrivere delle 

 congruenze rispetto ai periodi come moduli. 



(") Per il teorema che si trova al n. 22 della mia Memoria più volte citata (Parte Prima), le radici del- 

 l' equazione caratteristica in discorso sono a, a 4 , a 2 , e.'', d-\ cfi. 



('*') Loc. cit. ') n. 23 (Parte Prima). 



