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Gaetano Scorza 



[Memoria XVI.] 



e quindi gli indici di singolarità e moltiplicabilità della nostra quintica eguaglieranrfo quelli 

 di questa matrice. 



La matrice 10) è visibilmente isomorfa a una matrice composta ( 16 ) con tre matrici 

 di genere 2 identiche alla matrice 



b c ti 



11) 



d a 



o, ciò che fa lo stesso, alla matrice ad essa equivalente 



labe 



12) 



1 



d 



dunque, in ordine a teoremi generali, gli indici di 10) si avranno subito appena siano 

 calcolati quelli della matrice 12). 



Per questo, si incominci dall' osservare che fra le quantità a, b, c, d passano le re- 

 lazioni : 



ab = a-{-b-j-c ; ac^=2 — a — c; ad = — 1 — c; bc = — 1 — «; bd = 3-\-a~\-c ; cd = — 1 — b; 

 13) a? = — 1— a-b-\-c; b % = — 2— a-2b—2c ; c 2 = 2a J r b; if = 2b^ r c; 



e che se si indica con (J, I) il minore di 2° ordine formato con le colonne j ma ed / ma di 12) 

 si ha : 



14) 



(1,2) = 6 — a; (ì,3) = c — b; (1, 4) = d — . c = — 1— a— b— 2c ; 

 >,3)= : ac — b°- = 4-\-2b-\-c ; (2,4) = ad— bc — a— c ; (3A) = bd— c 2 = 3— a—b+c. 



Ciò posto, 1' indice di singolarità della matrice 12) è il massimo numero delle forme 

 riemanniane alternate ( 17 ) indipendenti ad essa relative diminuito di l, dunque per cal- 

 colarlo bisognerà cercare con quanti sistemi di valori non tutti nulli degli interi A, B, C, 

 D, E, F si può soddisfare all' equazione : 



15) 



A (1, 2) + B ( 1, 3) + C (1, 4) . -f D (2, 3) + E (2, 4) -f F(3, 4) = 0. 



Poiché l'equazione di 12 mo grado 8), a coefficienti interi, cui soddisfa «, è irriduci- 

 bile, le quantità a, b, c non possono soddisfare ad un' equazione lineare a coefficienti 

 interi se non a patto che questi siano tutti nulli, dunque la condizione 15) a cui debbono 

 soddisfare gli interi A, B,..., F si converte, per le 14), nelle seguenti quattro: 



— C + 4ZJ + 3F=0 

 16) — A — C ^ E — F = 



A—B—C-\-2D- F =0 

 B D — E + F = . 



Le soluzioni intere delle 16) si ottengono tutte, per es., prendendo gli interi A e C 



( U1 ) Loc. cit. '), n. 2 7 (Parte Prima). 

 C 7 ) Loc. cit. ') n. 6 (Parte Prima). 



