Sui poli delle più semplici equazioni delle curve coniche, ecc. 



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Introdotte le stesse nelle (a), si hanno rispettivamente alle tre specie delle coniche 

 1' equazioni 



a 2 [h -f p sen 6)- + b 2 (g 4- p cos Qf = a 2 b\ 

 a 2 (li -f p sen 8) 2 — b 2 (g + p cos 0)* = - a 2 b\ 

 (// -j- p sen 0) 2 = 2p (g-\-f cos 0), 



dalle quali, opportunamente maneggiate, si traggono 



/ . b 2 g cos -f- a 2 li sen 

 (I) ' ■ • 1 P H a 2 {l - e 2 cos 2 0) 



_ b 2 \ (a 2 — g 2 ) sen 2 6 -f {b 2 — li 2 ) co s 2 -f 2jf /< sen cos 0] 

 # 2 ( 1 — e 2 cos 2 0j 2 



è 2 g cos — a 2 li sen \ 2 

 P « 2 ( 1 — e 2 cos 2 0) ) 



b 2 [ (g 2 — a 2 ) sen 2 + (b 2 -f A 2 ) cos 2 — 2g li sen 8 cos 8] 

 a 2 (l — £ 2 cos 2 0) 2 



(II) 



(in) ... p h ^ 



\ sen" 2 / 



_ 2/) # sen 2 -)- cos 2 — 2p h sen cos 

 _ sen 4 ' 



Ora attentamente considerate queste equazioni, si rileva che per ridursi a forme al- 

 quanto semplici, perciò a diventare il secondo membro di ciascuna eguale ad un quadrato, 

 bisogna per la (I) che siano a 2 —g 2 = lr, b 2 — h 2 =g 2 , per la (II) siano g 2 ~~ a 2 — h 2 , 

 b 2 -{-h 2 =g 2 , e per la (III) si abbia 2pg = li t , così infatti i loro secondi membri assu- 

 mono le rispettive forme dei quadrati 



b 2 (//sen 0-f-.iT cos 0) 2 b 2 (li sen — g cos 0) 2 (h sen — p cos 0) 2 



a 2 (1— e 2 cos 2 0) 2 ' a 2 ( 1 — e 2 cos 2 0) 2 ' sen 4 



Pei'ò le poste condizioni sono inammissibili, non conducendo alla determinazione con- 

 creta dei sistemi delle coordinate g, h fissanti le posizioni dei punti ricercati ; infatti, le 

 due prime sono g 2 -)- li 2 = et 2 , g 2 -f- li 2 = b 2 , e poiché per l'ellisse non può essere b = a, 

 costituiscono due distinte equazioni, rappresentanti i cerchi di raggi a e b, concentrici al- 

 l' ellisse, 1' uno circoscritto e 1' altro inscritto alla stessa, i quali non hanno punti comuni, 

 e lasciano quindi indeterminata la valutazione specifica delle ed k; le altre due _g" 2 — Ir = <i 2 , 

 g 2 — Ir — b 2 parimente, stantechè pei' l* iperbola in generale è b differente di rt, fatta 

 eccezione dell' equilatero, in cui è b — a, in tale caso però le due indicate condizioni co- 

 stituiscono unica equazione g 2 — li 2 — a 2 , che lascia parimente indeterminate le g ed // ; 

 quanto poi alla parabola, la 2pg = Ir non è che l'equazione primitiva della stessa in coor- 

 dinate rettangolari, dinotate g ed A, col parametro 2p. Emerge dunque dalla precedente 

 analisi la prova dell' inesistenza fuori dei succennati assi di punti godenti la proprietà 

 espressa nel posto quesito. 



3. Esaminiamo in conseguenza ciò che ha luogo su codesti assi, e da prima sul se- 

 condo asse dell' ellisse e dell'iperbola, cioè piccolasse dell' una, ed asse non traverso del- 



