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Francesco Caldarera 



[Memoria XVII.] 



1' altra ; supposto quindi che su entrambi, e nel verso OB (fig. a ed analogamente nella 

 fìg. b) ne esista uno H distante da O della lunghezza OH — li , per adattare a questo 

 caso l' equazioni (I), (II) si deve porre in esse g — 0, e ne vengono le seguenti : 



/ cr li sen 6 \ 2 _ tf_ [a 2 sen 2 6 -j- (b 2 — h 2 ) cos 2 6J 



(Y ' ' • • a 2 (l - e 2 cos 2 8) / <? 2 ( l — e 2 cos 2 6) 2 



a 2 h sen 6 \ 2 _ _ è 2 [— a 2 sen 2 8 -f {b 2 -f /s 2 ) cos 2 6) 



(8) . . . p 



a 2 ( 1 — e* cos 2 0) / a 2 ( 1 — é cos 2 0) 2 



dalla prima (f) riguardante 1' ellisse si rileva che, affine di rendere il secondo membro e- 

 guale al quadrato 



(1 — e 2 cos 2 0) 2 



dev' essere b 2 — Ir - cr, ir - b- — a 2 = — (a 2 — b-), ed h — + | a 2 — b 2 I — \=z-\^c) — 1 , 

 risultato immaginario ; rispetto poi alla (8) , riguardante l' iperbola , occorrerebbe porre 

 b 2 ~\- Ir = — a 2 , eguaglianza contradditoria, e del resto conducente al risultato immagina- 



rio k = + ]/a z -\-b 2 v — 1 = + c \ — 1; emerge quindi da questo esame l'impossibilità di 

 esistenza sul secondo asse di ciascuna menzionata curva di punti godenti la proprietà 

 nel posto quesito definita. 



4. Non resta pertanto che riconoscere quello che abbia luogo sull' asse principale 

 di simmetria di ognuna delle tre curve in considerazione ; supposto conseguentemente 

 (fig. a, così pure per le fig. b, c) che sul mentovato asse, e nel verso da a C, vi sia 

 un punto G dei richiesti, distante da O della lunghezza OG — g, per adattare al caso in 

 esame l'equazioni (I), (II), (III), si deve porre in esse h—0., deducendosi le seguenti 



(e) 



(<p) 



b 2 g cos \ 2 _ _ b 2 { (a 2 —g 2 ) sen 2 + b 2 cos 2 0] 



a 2 (l — e 2 cos 2 0) / a 2 (1 



b 2 g cos V - - 1)2 t — n ^ sen2 6 + b ' cos= 6 1 



a 2 ( 1 — e 2 cos 2 0) / a 2 ( 1 — e 2 cos 2 0) 2 



p cos \ 2 2pg sen 2 -f- p 2 cos 2 



sen' / sen 1 



Dalle stesse si rileva agevolmente, per la prima (e) riguardante l'ellisse che, ad assu- 

 mere la più semplice forma, basta sia a 1 — g 2 = b 2 , g 2 = a 2 —b 2 — c 2 , g—'jrc, cioè 

 adire il richiesto punto G esiste, e coincide con 1' uno dei fuochi C, C (fig. a) ; relativa- 

 mente alla (qp) occorre che fosse g l — cr = b 2 , g 2 = a 2 -j- Ir = c 2 , g — + c, ossia anche 

 per 1' iperbola il richiesto punto G esiste, coincidendo con 1' uno dei due fuochi C, C (fìg. b); 



infine per la terza equazione (x) bisogna che sia g = — p, conseguentemente il punto 



supposto G per la parabola esiste, coincidendo con 1' unico fuoco C (fig. c). 



Con le poste condizioni realizzabili, dalle medesime equazioni si ricavano, cioè dalle 

 (e), (cp), i rispettivi valori 



b* b 2 gcos§ b" , 6 2 ^cos0 



«(1 — ^ 2 cos 2 0) a 2 ( 1 — e 2 cos 2 0) ' 1 " " a ( l — e 2 cos 2 0) 1 a* (l— é? 2 cos 2 0) 



