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Francesco Cai dar era 



[Memoria XVII.] 



conduca in esso un diametro CD, a destra del quale si prenda un arco CA = a, a sini- 

 stra un arco CB ~ b, essendo a e b ambedue minori del quadrante — — , sicché siano 2a, 

 2b, a -\- b <Ck] i due dati archi hanno così un estremo comune in C, e formano insie- 

 me l'arco ACB=a~\-b, si duplichino questi archi in CL = 2a , CM=2b, avendosi 

 perciò arco DL = n — 2a, DM = % — 2b, LCM = 2 (a -(- b). Congiunti a scambio per- 

 fette due a due i quattro punti C, L, D, M, risulta il quadrilatero inscritto, le cui diago- 

 nali sono CD = 2, LM=2 sen {a + b), ed i lati CL = 2 sen a, CM= 2 sen b, DL — 



2 sen a \ = 2 cos a , DM = 2 sen (-^ b j = 2 cos ò ; e per 1' invocato teorema 



avendo luogo 1' eguaglianza 



CD . LM = CL . DM-\- CM . DL, 



divisa la stessa per 4 , e sostituitevi le precedenti espressioni, si consegue la prima sur- 

 riferita forinola 



(1) sen (a -4- b) = sen a cos b -j- cos a sen b. 



2° — Se nello stesso cerchio di raggio l (fig. e) , dopo tirato il diametro CD, e 



Fig. e. Fig. /. 



preso a destra l'arco CL = 2a, si porti pure a destra l'arco CM—2b, potrà avvenire 

 o che l'estremo M preceda L, quando sia a^>b, o che segua ad L in M', allorché in- 

 vece sia a <C b. Ritenendo la prima ipotesi, e costituito il quadrilatero inscritto coi vertici 



in C, M, L, D, si hanno per le diagonali CL = 2 sen a, DM= 2 sen 6) = 2 cosò, 



e poi lati CM = 2 sen 6, DL — 2 sen a) = 2 cosa, C£> — 2, LAf = 2 sen '« — &),. 



e poiché si ha 1' eguaglianza 



CL. DM= CM. DL + CD. LM, 



dividendo la stessa per 4, e sostituitevi l' espressioni precedenti, risulta la seconda for- 

 inola sopra riferita 



(2) sen (a — b) = sen a cos b — cos a sen b. 



Nella seconda ipotesi a<Cb, formato coi quattro punti C, L, M' D, il quadrilatero 

 inscritto, e trattato lo stesso analogamente al precedente, si ricava la forinola 



(2') sen (b — a) = sen b cos a — cos b sen a, 



cioè la stessa (2) con lo scambio tra i due archi a e b, e che si può scrivere anche in 

 quella medesima forma, cangiando i segni ad ambuedue i membri. 



