Sui poli delle più semplici equazioni delle curve coniche, ecc. 



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3° — Osserviamo in terzo luogo che, sussistendo le ineguaglianze 2a, 26, ce -j- b <jz, 

 si può avere in generale 2a -j- 2b < it, o 2a -)- 2b > ir, quindi come nella (fìg. d) tirato 

 il diametro CD (fìg. /) e presi gli archi CL ovvero CL' = 2a, CM = 26, a destra ed a 

 sinistra di CD, con 1' estremo comune in C, se si conduce il secondo diametro LN, od 

 L' N', 1' estremità N cadrà fra D ed M, ed TV" fra C ed A/, secondochè sia 2a-\- 26<X 

 ovvero 2# -|- 2b > ic ; supponiamo avverarsi la prima ipotesi, e coi quattro punti C, M, 



N, D, si formi il quadrilatero inscritto, le cui diagonali sono CN = 2 sen 



2 cos a, DM — 2 sen (— b) = 2 cos b, ed i lati CM — 2 sen 6, DN= 2 sen a, CD=2, 



MN= 2 sen ; fl — 6] — 2 cos (« -f- 6) ; intanto ha luogo l' eguaglianza 



CN. DM— CM. DN^r CD. MN, 



che divisa per 4, e sostituitevi le precedenti espressioni dà la terza forinola sopra men- 

 zionata 



(3) cos {a -f- b) — cos a cos b — sen a sen b. 



Posta 1' altra ipotesi 2a -J- 2b > con trattamento analogo al precedente si ottiene 

 la medesima formola (3), donde si rileva che a conseguirla, qualunque sia 1' arco CL =■ 

 = 2a <C ic, basta condurre i due diametri CD, LA 7 ', e farvi concorrere l'arco CM di qual- 

 siasi ampiezza 2& < jc, affinchè si abbiano i quattro punti C, D, M, N (comunque que- 

 st' ultimi fossero rispettivamente disposti), coi quali formare il relativo quadrilatero inscritto, 

 che fornirà la detta formola (3). 



4° — In ultimo luogo, ripresa la (fìg. d), conservando la parte a destra di CD, si 

 prenda a sinistra l'arco DM = 2b, onde si ha arco CM=t — 2b, ed arco LDM — 26 — [— 

 — | — Te — 2a — ir — 2 (a — b), formato il quadrilatero inscritto coi vertici in C, L, D, M, 



si hanno per le diagonali CD— 2, LM = 2 sen 1-^ a~\-b^j = 2 cos (a — b) , e pei lati 



CL = 2sen«, DM =2 sen b, DL = 2sen (-^ aj = 2 cos a, CM= 2 sen (-^ è) = 



= 2 cos b, introdotte queste espressioni nell' uguaglianza 



CD. LM = CL. DM -f- CM. DL, 

 divisa per 4, risulta 1' ultima delle formole summenzionate 



(4) ..... cos (a — b) = cos a cos b -j- sen a sen h. 



6. Affermata nell' adoperato modo semplicissimo 1' esistenza delle formole (1), ... , (4), 



con la condizione premessa d'essere i due archi a e b ciascuno minore del quadrante ~ , 



rimane a provare che le medesime hanno luogo egualmente, qualunque siano le ampiezze 

 di essi archi, e comunque siano i rispettivi segni ; il ragionamento riesce ben semplice 

 tenendo presente il comportamento dei seni e coseni degli archi variabili AM in uno stesso 

 cerchio, dei quali restando ferma la origine A, varia 1' estremità M, percorrendo la intera 

 circonferenza, una o più volte, nel verso costante, sia positivo sia negativo. 



Consideriamo da prima le (l), (3), osservando anzitutto che per la loro forma sim- 

 metrica si possono scambiare a piacimento gli archi a e b ; ciò premesso, supponiamo 



che ad uno di essi a p. e., si aggiunga il quadrante — , perciò posto a' — a -j — — , e nelle 



