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Francesco Caldarera 



[Memoria XVII.] 



indicate due forinole sostituito a — — ad a, ne vengono le seguenti 



sen (a - — \- b) = sen (a — ) cos b -\- cos (ci — ) sen b , 



cos (a' — |- b) = cos (a — ) cos b — sen [a' — ) sen b , 



ma si hanno 



sen [a '—-\-b)= — sen (— a — b) = — cos (a -j- b) , 



cos (a — ~\- b) — cos ( — a — b) = sen (a -J- b) , 



sen (a — ) — — sen a) = — cos a, cos (a — ) — cos (— — a ) = sen a' , 



risultano pertanto le lormole 



sen (a -\- b) = sen a cos b -\- cos d sen b , 

 cos (a! -f- b) = cos a cos b — sen a sen b , 



dimostranti che le suddette (1), (3) sussistono parimente posto a -) — — invece di a. 



Segue da ciò, che le due forinole anzidette dimostrate vere per due archi, ambedue 

 dello stesso segno, e ciascuno minore di — , avranno luogo altresì aggiungendo all'uno 

 di essi un multiplo qualunque di — , e stante la possibilità di scambio tra i due archi a 



e 6, risulta che le medesime sussistono egualmente per archi di qualsiasi ampiezza. 



Veniamo infine alla considerazione dei segni precedenti agli archi ; li abbiamo sinora 

 riguardati come aventi lo stesso segno, da potersi assumere sempre positivo, adesso sup- 

 poniamo che abbiano differenti segni, e siano a positivo e b negativo, ognuno di qualun- 

 que ampiezza, prendendo un numero k positivo tale, che 2/^ fosse maggiore di b , per- 

 ciò 2k% — b sia un arco positivo, per le forinole sopra considerate (1), (3), nelle condi- 

 zioni generali di esistenza già stabilita, si hanno 



sen (a -\~ 2kit — b) — sen a cos (2k% — b) -f- cos a sen (2k% — b) , 

 cos {a -j- 2k% — b) — cos a cos (2kiz — b) — sen a sen (2k-z — b) , 



ma per la periodicità dei seni e coseni col periodo 2it ne seguono 



sen (a -j- 2kx — b) = sen (a — b) , cos [a -j- 2kn — b) = cos (a — b) . 

 sen (2fcx — 6)=:sen( — b) = — sen b, cos {2kx — b) = cos b , 



adunque risultano come per la (2), (4) le forinole 



sen (a — 6) = sen a cos b — cos a sen b, 

 cos {a — b) — cos a cos b -f- sen a sen b, 



sussistenti con l'arco — b di qualsiasi ampiezza. 



La generalità delle surriferite forinole (1), (2), (3), (4) resta dunque pienamente pro- 

 vata. 



Prof. Caldarera Francesco 



nato a Randazzo il di s/s/ l82 5- 



